Zeigen sie: ist H eine Untergruppe der zyklischen Gruppe , wobei ord a=n, n∈N, dann ist auch H zyklisch

Question

Aufgabe:

Zeigen sie: ist H eine Untergruppe der zyklischen Gruppe <a> , wobei ord a=n, n∈N, dann ist auch H zyklisch

Problem/Ansatz:

Die von einem Element a erzeugten Gruppen sind zyklische Gruppen.

In der Vorlesung haben wir folgenden Satz bewiesen: Ist G eine Gruppe und a∈G mit ord a=n, n∈N, dann gilt:
<a>={a^1, a^2 ,…, a^n}

Jedoch weiß ich nicht, wie mir der Satz beim beweis helfen könnte. Vielleicht kann mir ja jemand helfen.

Answer 1

Zeige: Sei \(M \subseteq \{1,\dots,n\}\). Sei \(t = \operatorname{ggT}(M)\). Die von \(\{a^i\in H | i\in M\}\) erzeugte Untergruppe von \(H\) wird von \(a^t\) erzeugt