Satz: Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Dann ist falls G zyklisch ist auch immer U zyklisch.
Da \( G \) zyklische Gruppe \( \exists g \epsilon G \) mit \( <g>=G \).
Sei \( |G|=|<g>|=n \Rightarrow g^{n}=e \quad \) (e ∈ G das neutrale Element)
Und sei U Untergruppe mit \( |U|=m \)
\( \Rightarrow m \mid n \Rightarrow \exists a \epsilon G \quad \) mit \( n=m^{*} a \)
Für jedes \( u \epsilon U \quad \exists k \epsilon G, g^{k}=u \)
Wenn nun \( |<u>|<m \forall u \epsilon U \) wäre, so müsste ich irgendwie auf einen Widerspruch stoßen.
Klar ist, dass \( \left(g^{k}\right)^{q}=g^{k q}=u^{q} \) für ein \( q \) aus \( G \).
Damit \( u^{q}=g^{k q}=e \) ist, muss ja \( k q \equiv 0 \) mod \( n \) sein,
also \( n \mid \mathrm{kq} \Rightarrow \mathrm{kq}= \) bn für ein \( \mathrm{b} \) aus \( \mathrm{G} \).
Ebenso gilt dann \( q \mid m \Rightarrow m=c q \)
Jetzt soll dieses \( q \) aber m sein.
