Zeigen Sie: Jede Teilmenge N einer endlicin N

Question

Eine Menge \( M \) nennen wir endlich wenn folgender Prozess irgendwann aufhört: Wir nehmen nacheinader Elemente heraus und zählen die durch: das erste Element, das zweite Element, usw. bis kein Element mehr in der Menge ist. Die Zahl, die am Ende bei dem Zählen rauskommt, nennen wir die Kardinalität von \( M \) und kürzen sie mit \( |M| \) ab. Wenn \( M \) nicht endlich ist, nennen wir es eine unendliche Menge.

Zeigen Sie: Jede Teilmenge \( N \) einer endlichen Menge \( M \) ist endlich (dabei ist \( N \) Teilmenge von \( M \), wenn für jedes \( x \) in \( N \) gilt: \( x \) liegt in \( M \); wir schreiben dafür \( N \subseteq M) \)

Answer 1

Sei \(M\) eine endliche Menge und \(N\subseteq M\) eine beliebige Teilmenge von \(M\).

Wir wissen, dass jedes Element aus \(N\) auch in \(M\) enthalten ist.

Also machen wir nun folgendes: Wir nehmen jeweils ein Element aus \(N\) und entfernen es sowohl aus \(N\), als auch aus \(M\), wir wiederholen solange, bis eine der Mengen leer ist.

Wir nehmen mal an, wir würden terminieren und \(M\) wäre zum Schluss leer, sowie \(N\) nicht leer.

Da jedes Element aus \(N\) in \(M\) enthalten ist, und wir jedes Element aus \(N\) auch aus \(M\) entfernt haben, würde dies implizieren, dass es ein Element in \(N\) gibt, welches nicht in \(M\) ist (sonst wäre es ja entfernt worden), ein Widerspruch.

Damit erhalten wir, dass zum Schluss \(N\) leer sein wird.

Offenbar würden wir also auch beim Zählen der einzelnen Mengen mit \(N\) spätestens fertig sein, wenn wir mit \(M\) fertig sind (die Idee zuvor war schließlich nur ein paralleler Zählvorgang), woraus die Endlichkeit von \(N\) folgt.

Comments

Wie sollte die Teilmenge einer endlich Menge unendlich sein können?

Sie kann doch nur endlich viele Elemente enthalten.

Das ergibt sich doch schon aus dem Adjektiv ENDLICH.

Alles andere wäre eine contradiction in adiecto, oder?

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Das ist mir durchaus bewusst, allerdings wollte ich mit der (interessant formulierten) Beschreibung einer endlichen Menge des Fragestellers argumentieren.

Ansonsten kann natürlich jede Teilmenge einer endlichen Menge auch nur höchstens so viele Elemente enthalten, wie die eigentliche Menge, woraus offensichtlich auch die Endlichkeit folgt.