Sei M eine endliche Menge und N⊆M eine beliebige Teilmenge von M.
Wir wissen, dass jedes Element aus N auch in M enthalten ist.
Also machen wir nun folgendes: Wir nehmen jeweils ein Element aus N und entfernen es sowohl aus N, als auch aus M, wir wiederholen solange, bis eine der Mengen leer ist.
Wir nehmen mal an, wir würden terminieren und M wäre zum Schluss leer, sowie N nicht leer.
Da jedes Element aus N in M enthalten ist, und wir jedes Element aus N auch aus M entfernt haben, würde dies implizieren, dass es ein Element in N gibt, welches nicht in M ist (sonst wäre es ja entfernt worden), ein Widerspruch.
Damit erhalten wir, dass zum Schluss N leer sein wird.
Offenbar würden wir also auch beim Zählen der einzelnen Mengen mit N spätestens fertig sein, wenn wir mit M fertig sind (die Idee zuvor war schließlich nur ein paralleler Zählvorgang), woraus die Endlichkeit von N folgt.