Aloha :)
Beide Formeln sind gleichwertig. Sie stammen aus der Produktregel beim Ableiten:$$\left(u(x)\cdot v(x)\right)'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$$und dem 1-ten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, dass (einfach gesagt) das Integrieren das Gegenteil vom Ableiten ist:
$$\int\left(u(x)\cdot v(x)\right)'\,dx=\int u'(x)\cdot v(x)\,dx+\int u(x)\cdot v'(x)\,dx$$$$u(x)\cdot v(x)\quad\quad\quad\;\;=\int u'(x)\cdot v(x)\,dx+\int u(x)\cdot v'(x)\,dx$$Dieses Ergebnis kannst du nach einem der beiden Integralen umstellen.
In beiden Fällen musst du eine der beiden Funktionen ableiten und die andere Integrieren. Hier macht es Sinn, dass \(x\) abzuleiten, weil dann in dem verbliebenen Integral eine \(1\) auftaucht:
$$\int\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\left(1+x\right)^{\frac12}}_{=v'}dx=\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac23\left(1+x\right)^{\frac32}}_{=v}-\int\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{\frac23\left(1+x\right)^{\frac32}}_{=v}dx$$$$\phantom{\int\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\left(1+x\right)^{\frac12}}_{=v'}dx}=\frac23\,x\left(1+x\right)^{\frac32}-\frac4{15}\left(1+x\right)^{\frac52}+\text{const}$$
