Abbildung untersuchen auf Injektivität und Surjektivität.

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 1
a) Die lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) sei gegeben durch \( x \mapsto A \cdot x \operatorname{mit} A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \\ -1 & -1 & -2\end{array}\right) \)
Untersuchen Sie diese Abbildung auf Injektivität und Surjektivität.

Problem/Ansatz:

Ich habe den Rang der Matrix berechnet, weil soweit ich weiß sagt der Rang einer Matrix etwas über die Injektivität und Surjektivität aus. Wenn rg(A) = m surjektiv und injektiv wenn rg(A) = n und bijektiv wenn beides zutrifft was dann wenn ich mich gerade nicht Irre demnach nur bei einer n x n Matrix der Fall sein kann oder?

Ich bekomme am Ende folgende Matrix raus wenn ich die gegebene Matrix in Stufenform bringe :

1 2 2

0 -1 0

0 0 0

Also rg(A) = 2 und somit ungleich m und n.

Ich möchte wissen ob ich richtig liege und auch richtig vorgegangen bin und ob es auch andere Methoden gibt dies herauszufinden ich glaube mich erinnern zu können das wenn die dim(Kern) = 0 ist wäre die Abbildung injektiv bzw. wenn im Kern nur der Nullvektor liegt da bin ich mir nur nicht sicher ob das dann Kern = 0 oder Kern = 1 ist.

Wenn ich falsch liege usw. helft mir bitte

Bin wie immer für jede Hilfe dankbar ^^

Answer 1

Hallo,

Deine Aussage über m und n kann man nicht prüfen, weil Du nicht gesagt hast, was n oder m ist (also was gehört zum Definitionsbereich, was zum Bildbereich?)

Aber für das Beispiel hast Du recht: Es ist rg(A)=2 <3, daher ist f nicht surjektiv. Da Zeilen- und Spaltenanzahl gleich sind, folgt auch, dass f nicht injektiv ist. Aufgrund Deiner Rechnung kann man auch den Kern konkret angeben:

$$Kern(f)=\{ s(-2,0,1) \mid s \in \mathbb{R}\}$$

Die Dimension desKerns ist also gleich 1>0.

Gruß Mathhilf

Comments

Mit m meine ich die Zeilen und n die Spalten der Matrix oder wie meinen Sie das ? Jedenfalls danke für die Bestätigung das ich es zumindest einigermaßen richtig verstanden habe :D

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Hallo,

ja, also \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\), die zugehörige Matrix hat m Zeilen und n Spalten. Dann gilt in der Tat: Genau dann, wenn Rang(A)=m, ist f surjektiv. Wenn Rang(A)=n, ist f injektiv.

Gruß Mathhilf

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Mhm ok also angenommen es wäre f: R^3 -> R^2 wäre es dann surjektiv ?

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Wer ist "es". Jedenfalls, wenn A 2 Zeilen hat und ihr Rang ist 2, dann ist die zugehörige Abbildung surjektiv.

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Die Abbildung meinte ich von R^3 nach R^2.

Mich verwirrt dass Sie oben f:R^n -> R^M geschrieben haben was genau hat das jetzt mit meiner Matrix zu tun. Also was sagen das "m" und "n" an diesen Stellen aus.

Ja ok das dachte ich mir mit wenn Matrix A 2 Zeilen hat wäre diese Matrix surjektiv. Aber welchen Einfluss hat die Abbildungsvorschrift ?

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naja, ich habe mich an Deinen Aufgabentext gehalten, wo zwischen f und A unterschieden wird, jetzt eben allgemein:

Die lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) sei gegeben durch \( x \mapsto A \cdot x \operatorname{mit} A=...\) Und dann wäre A eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten.

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Verstehe danke dir ^^