Bestimmen Sie eine Kontrollmatrix H von C .

Question

Aufgabe:

das Thema Codierungstheorie kam in der Vorlesung aufgrund der Zeitknappheit viel zu kurz.

Daher habe ich hier auch nicht so viel verstanden.

In den Übungen kam auch nichts dazu vor, jedoch wurde das Thema in einer Altklausur behandelt und nun wollte ich fragen ob mir eventuell nochmal jemand das Thema ein wenig näher bringen könnte?

Die Aufgabe in der Altklausur war folgende:

Wir betrachten den folgenden Code in \( \mathbb{F}_{2}^{9} \) :
\( C=\left\{\begin{array}{ccc} x_{6}+x_{9} & = & x_{1} \\ x \in \mathbb{F}_{2}^{9}: & x_{5}+x_{6}+x_{8} & =x_{2} \\ x_{5}+x_{7}+x_{8}+x_{9} & = & x_{3} \\ x_{6}+x_{7}+x_{8} & = & x_{4} \end{array}\right\} \)
(a) Bestimmen Sie eine Kontrollmatrix \( H \) von \( C \).
(b) Bestimmen Sie eine Generatorenmatrix \( G \) von \( C \).
(c) Bestimmen Sie den Minimalabstand von \( C \).
(d) Für welche \( t \in \mathbb{N}_{>0} \) ist \( C t \) -fehlerkorrigierend?
(e) Für welche \( t \in \mathbb{N}_{>0} \) ist \( C t \) -perfekt?

Ich würde mich sehr über Antworten freuen :)

Answer 1

Also zunächst einmal:

Wenn ihr das erst ganz am Ende durchgenommen habt und dann noch viel zu kurz, und keine Übungsaufgaben dazu bekommen habt, dann liegt die Vermutung hoch, dass auch in der Klausur keine solche Aufgabe drankommt. Du kannst ja auch nochmal nachfragen, bzw gibt der Dozent doch meistens eine Liste an Themen, die in der Klausur zu Auswahl stehen und wenn es da nicht draufsteht, dann wird wohl auch keine solche Aufgabe kommen.

Aber, und hier käme die gute Nachricht, solche Aufgaben sind sehr einfach.

In C steht quasi: (beachte in F₂ ist +/- das gleiche)

x₁ + x₆ + x₉ = 0

x₂ + x₅ + x₆ + x₈ = 0

x₃ + x₅ + x₇ + x₈ + x₉ = 0

x₄ + x₆ + x₇ + x₈ = 0

a) C = ker H, also ist die Kontrollmatrix H genau

H =   $$\begin{pmatrix}  1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

wobei jede Spalte für die x₁, ..., x₉ steht und die Zeilen für die jeweilige Gleichung.

b) Hier brauchen wir eine Basismatrix. Die kann man relativ einfach bestimmen, in dem man die Lösungsmenge der erweiterten Matrix (H|0) bestimmt. Hier würde ich dich jetzt erstmal ranlassen. :) Die bestimmten Vektoren bilden dann zeilenweise deine Generatormatrix G.

Comments

Ich komm leider nicht weiter, könntest du das bitte vormachen?

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Wir haben eine Liste mit möglichen Klausurthemen bekommen, aber nur weil es da nicht draufsteht heißt es ja nicht zu 100% nicht drankommt oder?

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Das kann ich natürlich nicht genau wissen, was da drankommt und was nicht. :D Aber wie schon gesagt, am besten fragst du einfach nochmal nach, was drankommen kann und was nicht.

Also zur b): Du kannst die Lösungen direkt ablesen, da das LGS schon in Hauß-From vorliegt. Auch hier wieder beachten -1=1 in F₂.

Die Lösungsmenge ist L(H|0)= <{$$\begin{pmatrix} 0\\1\\1\\0\\1\\0\\0\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\1\\0\\1\\0\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\1\\0\\0\\1\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1\\1\\1\\0\\0\\0\\1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0\\0\\0\\0\\0\\1 \end{pmatrix}$$ }>. Diese Basisvektoren schriebst du jetzt zeilenweise in deine Generatormatrix G, dann bist du fertig.

Bei der c) schaust du, was der minimale Abstand zweier Codes von c sind.