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Der Vertrauensbereich als Vielfaches der Standardabweichung/Schwankung soll für ein 90% Konfidenzintervall bei einer Anzahl von 15 Proben mithilfe der tschebyscheffschen Ungleichung ermittelt werden.


Finde das Beispiel ein bisschen schwierig, da kein klarer Erwartungswert oder so gegeben ist und ich weiß nicht, wie man dann auf ein Vertrauensbereich kommen kann.


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Um welche Zufallsvariable geht es?

Die Aufgabe steht genau so, wie ich sie hier geschrieben habe also leider gibt es nicht so viele Informationen, was ein Problem für mich darstellt :( . Aber ich würde mal sagen es geht hier um den Mittel- bzw. Erwartungswert

es geht hier um den Mittel- bzw. Erwartungswert

Das reicht nicht. Dazu ein

Beispiel. Zwei Würfel werden geworfen.

Es ist sinnlos, in diesem Experiment nach dem Erwartungswert zu fragen.

X sei die Zufallvariable "Summe der geworfenen Augenzahlen"

Y sei die Zufallvariable "Produkt der geworfenen Augenzahlen"

Jetzt macht es Sinn, nach den Erwartungswerten von X und Y zu fragen. Es ist E(X) = 7 und E(Y) = 12,25.

Genausowenig macht es Sinn, in deinem Experiment Erwartungswert und Standardabweichung zu verwenden, ohne vorher definiert zu haben, was die betrachtete Zufallsvariable ist.

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Vielleicht ist das gemeint.

Sei \( X_i \) ein Zufallsfolge mit den Eigenschaften

\( (1) \quad \mathbb{E}(X_i) = \mu \) und

\( (2) \quad \mathbb{V}(X_i) = \sigma^2 \) sowie \( \alpha = 90 \% \) die zugehörige Konfidenzzahl.

Ddann gilt für die Zufallsvariable

$$ \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i $$ $$ \mathbb{E}(\overline{X}) = \mu $$ und

$$ \mathbb{V}(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n} $$

Nach der Tschebyscheff Ungleichung gilt

$$ \mathbb{P} \left\{ \left| \overline{X} - \mathbb{E}(\overline{X}) \right| \ge k \right\} = 1 - \mathbb{P} \left\{ \left| \overline{X} - \mathbb{E}(\overline{X}) \right| \lt k \right\} \le \frac{ \mathbb{V}( \overline{X} ) }{ k^2 } = \frac{ \sigma^2 }{ n k^2 } $$

Die rechte Seite muss dem Ausdruck \( 1 - \alpha \) entsprechen, also $$ \frac{ \sigma^2 }{ n k^2 } = 1 - \alpha $$

Daraus folgt $$ k = \sqrt{ \frac{ \sigma^2 }{ n (1-\alpha) } } $$

Daraus folgt $$ \mathbb{P} ( \mu \in [ \overline{X} - k \ , \ \overline{X} + k ] ) \ge \alpha $$

D.h. $$ \left[ \overline{X} - \sqrt{ \frac{ \sigma^2 }{ n (1-\alpha) } } \ , \ \overline{X} + \sqrt{ \frac{ \sigma^2 }{ n (1-\alpha) } } \right] $$ ist ein Konfidenzintervall für \( \mu \) zum Niveau \( \alpha \).

Damit ist die Länge des Vertrauensintervall $$  2 \sqrt{ \frac{ \sigma^2 }{ n (1-\alpha) } } $$

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