Vielleicht ist das gemeint.
Sei \( X_i \) ein Zufallsfolge mit den Eigenschaften
\( (1) \quad \mathbb{E}(X_i) = \mu \) und
\( (2) \quad \mathbb{V}(X_i) = \sigma^2 \) sowie \( \alpha = 90 \% \) die zugehörige Konfidenzzahl.
Ddann gilt für die Zufallsvariable
$$ \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i $$ $$ \mathbb{E}(\overline{X}) = \mu $$ und
$$ \mathbb{V}(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n} $$
Nach der Tschebyscheff Ungleichung gilt
$$ \mathbb{P} \left\{ \left| \overline{X} - \mathbb{E}(\overline{X}) \right| \ge k \right\} = 1 - \mathbb{P} \left\{ \left| \overline{X} - \mathbb{E}(\overline{X}) \right| \lt k \right\} \le \frac{ \mathbb{V}( \overline{X} ) }{ k^2 } = \frac{ \sigma^2 }{ n k^2 } $$
Die rechte Seite muss dem Ausdruck \( 1 - \alpha \) entsprechen, also $$ \frac{ \sigma^2 }{ n k^2 } = 1 - \alpha $$
Daraus folgt $$ k = \sqrt{ \frac{ \sigma^2 }{ n (1-\alpha) } } $$
Daraus folgt $$ \mathbb{P} ( \mu \in [ \overline{X} - k \ , \ \overline{X} + k ] ) \ge \alpha $$
D.h. $$ \left[ \overline{X} - \sqrt{ \frac{ \sigma^2 }{ n (1-\alpha) } } \ , \ \overline{X} + \sqrt{ \frac{ \sigma^2 }{ n (1-\alpha) } } \right] $$ ist ein Konfidenzintervall für \( \mu \) zum Niveau \( \alpha \).
Damit ist die Länge des Vertrauensintervall $$ 2 \sqrt{ \frac{ \sigma^2 }{ n (1-\alpha) } } $$
