Basis von U:=<v1,...,v2> bestimmen und diese Basis ergänzen

Question

Kann mir einer bitte bei der folgenden Aufgabe helfen?

Also gegeben habe ich die Vektoren:

v_1=

1

0

0

-1

v_2=

0

1

0

-1

v_3=

0

0

1

-1

v_4=

-1

-1

2

0

Meine erste Aufgabe war es zu zeigen, dass (v1,v2,v3,v4) lin. abhängig ist, was ich gemacht habe. Durch genaues Hinschauen bekommt man raus, dass das lin.abhängig ist.

Rechnung: 1×v_1+(-1)×v_2+2×v_3+1×v_4=0.

Meine zweite Aufgabe ist es eine Basisi von

U:=<v_1,...,v_4> zu bestimmen. Als Hinweis steht, dass man das Gleichungsystem av1+bv2+cv3+dv4=0 betrachten soll und für jeden freien Parameter pi den entsprechenden Vektor aus dem Erzeugendensystem entfernen soll. Das verstehe ich nicht so ganz. Also ich habe das aufgestellt und kommen auf

1. a-d=0 -> a=d

2. b-d=0 -> b=d

3. c+2d=0 -> c=-2d oder d= c/2

4. -a-b-c=0 -> da habe ich a, b und c eingesetzt und komme auf 0=0

Und bei der dritten Aufgabe habe ich gar keinen Ansatz: Ergänze die Basis aus 2. zu einer Basis von ℚ^(4×1)

Answer 1

sagt dir die Zeilenstufenform bzw. das Gaußsche Eliminationsverfahren etwas? Damit geht es prima. Du schreibst dafür die Vektoren Zeilenweise in eine \(4 \times 4\) Matrix

\(\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & -1 & 0\end{pmatrix}\)

und bringst diese mittels Gauß-Algorithmus in eine Zeilenstufenform. Du erhältst dann am Ende eine Matrix der Form

\(\begin{pmatrix}1 & \cdot & \cdot & \cdot \\ 0 & 1 & \cdot & \cdot \\ 0 & 0 & 1 & \cdot \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

wobei die \(\cdot\) Einträge noch zubestimmen sind.

Anhand dieser Zeilenstufenform kannst du nun an den "Treppenstufen" erkennen, dass \(v_1, v_2\) und \(v_3\) eine Basis bilden. In der vierten Zeilen haben wir nämlich keine "Treppenstufe", weshalb der Parameter "d" ein freier Parameter ist.

Lg

Comments

Deine Rechnung mit der angegebenen Formel

\(av_1 + bv_2 + cv_3 + dv_4 = 0\)

ist natürlich auch richtig und geht sogar schneller, als meine angegebene Methode.

Du hast das Gleichungssystem

\((I) \ a-d = 0\)

\((II) \ b-d = 0\)

\((III) \ c + 2d = 0\)

\((IV) \ -a -b -c = 0\)

aufgestellt und feststellen können, dass

\(a = d, b = d\) und \(c = -2d\). In der vierten Gleichung eingesetzt erhalten wir

\(-d -d + 2d = -2d + 2d = 0\). Das besondere hierbei ist, dass es egal ist, welchen Wert für \(d\) wir nehmen. Das Ergebnis bleibt immer das gleiche. Damit ist \(d\) ein freier Parameter.

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Vielen vielen Dank!!!

Das heißt dann also, dass dann e_4 kein Element von <v1,v2,v3> ist. Also ist dann <v1, v2,v3,e4> lin. unab. Und weil Q^(4×1) vier-dimensional ist und (v1,v2,v3,e4) aus vier Vektoren besteht, ist (v1,v2,v3,e4) eine Basis von Q^(4×1), oder? Ich habe es mal versucht XD

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Richtig, genau das war die Aufgabe.

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Ich bedanke mich sehr!!!