inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung(Hookesche Gesetz)

Question

Aufgabe:

Das Hookesche Gesetz y'' + \( \frac{D}{m} \)*y = 0 beschreibt die Schwingung einer gespannten und dann losgelassenen Feder der Masse m und der Eigenschaftskonstante D. Es sei m = 600 g und die Federkonstante D = 50 N / m) Wie lautet die allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung?b) Bestimmen Sie die den Anfangsbedingungen x(0) = 0 und x(0) =  v(0) = 0,5m/ s angepasste spezielle Lösung und skizzieren Sie den Schwingungsverlauf.

(in abgeänderter Form, mit inhomogenen Differentialgleichung!)

x'' + D/m*x = 2sin(9,13t)

Könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen und auch wie man auch da die Randbedingungen berücksichtigt(wenn dies da auch möglich ist)?

Problem/Ansatz:

yp = A*cos(9,13t)+B+sin(9,13t)

yp' = -9,13Acos(9,13t) + 9,13Bsin(9,13t)

yp'' = -83,357Acos(9,13t)  83,357B*sin(9,13t)

-83,357Acos(9,13t) - 83,357Bsin(9,13t) + D/m ( Acos(9,13t)+Bsin(9,13t))

cos(9,13t)[-83,357A + ωA] + sin(9,13t)[-83,357B + ωB] = 2sin(9,13t)

1. -83,357+ ωa = 0        -83,357A + 9,13A = 0

2. -83,357B + ωB = 2    -83,357B+ 9,13B= 2

-74,227A = 0      =>       A = 0

-74,227B = 2     =>       B = -0,0269

=> yp = -0,0269sin(9,13t)

yh= Acos(9,13t) + Bsin(9,13t)

y = yh + yp = Acos(9,13t) + B sin(9,13t) - 0,0269sin(9,13t)

v'(0) =0,5

v(0) = 0

Comments

Bitte keine Nachfragen in den Kommentaren einer anderen Frage. Frage hier genau nach was du nicht verstehst. Hier haben sich doch bereits 2 Leute die Mühe gemacht dir zu helfen.

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Kann das mit den Buchstaben nicht nachvollziehen..

\(x(t)=\frac{2 \sqrt{D} m \sin (9.13 t)+\sqrt{m}(0.5 D-59.9384 m) \sin \left(\frac{\sqrt{D} t}{\sqrt{m}}\right)}{\sqrt{D}(D-83.3569 \mathrm{~m})} \)

Wenn ich die Werte einsetze kriege ich leider was anderes raus. Vielleicht habe ich das falsch eingesetzt.

Raus habe ich (oben eingesetzt kriege ich was anderes raus): y = C1*cos(ωt) + C2*sin(ωt) - 0,1095*t*cos(9,13t)

y(0) =0 =>  C1 = 0

y'(x)= -9,13C1*sin(9,13t) + 9,13*C2*cos(9,13t) + 0,997*t*sin(9,13t)-0,1905*cos(9,13t)

y'(0) = 0,5 =>  9,13*C2-0,1905    = 0,5 = > 9,13*C2 = 0,6905|:9,13  =>  C2= 0,0668

y(x)= 0,668(9,13t) - 0,1095*t*cos(9,13t)

Answer 1

deine Lösung ist leider falsch. Zur besseren Übersicht sei hier \(a := \frac{D}{m}\). Die homogene Lösung

\(x_h(t) = c_1 \cos(t\sqrt{a}) + c_2 \sin(t\sqrt{a})\)

hast du richtig.

Deine partikuläre Lösung ist allerdings falsch, weil du einen falschen Ansatz gemacht hast. Deine Störfunktion ist hier

\(2 \sin(t\sqrt{a})\).

Das charakteristische Polynom deiner gegebenen Differentialgleichung ist

\(p(\lambda) = \lambda^2 + a\).

Man sieht sofort, dass \(i\sqrt{a}\) eine Nullstelle erster Ordnung des charakteristischen Polynoms ist.

Wenn wir nun im Skript oder in die Tabelle schauen: https://www-user.tu-chemnitz.de/~peju/skripte/gdgl/Merkblatt_PL.pdf,

dann sehen wir, dass unser Ansatz

\(x_p(t) = t b_1 \cos(t\sqrt{a}) + t b_2 \sin(t\sqrt{a})\)

sein muss.

Leiten wir \(x_p\) nun zweimal ab und setzen wir es in unsere DGL ein, erhalten wir

\( -2\sqrt{a} b_1 \sin(t\sqrt{a}) = 2\sin(t\sqrt{a}) \implies b_1 = -\frac{1}{\sqrt{a}}\).

Damit ist unsere partikuläre Lösung

\(x_p(t) = -\frac{t}{\sqrt{a}}\cos(t\sqrt{a})\)

und folglich unsere allgemeine Lösung

\(x(t) = x_h(t) + x_p(t) = c_1 \cos(t\sqrt{a}) + c_2 \sin(t\sqrt{a}) - \frac{t}{\sqrt{a}}\cos(t\sqrt{a})\).

Nun haben wir die Anfangsbedingungen

\(x(t = 0) = 0\)

und

\(x'(t=0) = 0.5\)

gegeben. Für die erste Anfangsbedingung setzen wir \(t = 0\) in unsere Lösung ein und setzen diese gleich null:

\(x(t = 0) = c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0) - \frac{0}{\sqrt{a}}\cos(0) = c_1 = 0\).

Für die zweite Anfangsbedingung müssen wir unsere Lösung einmal ableiten, \(t = 0\) einsetzen und dann gleich \(\frac{1}{2}\) setzen:

\(\frac{d}{dt}(x(t))_{t = 0} = \frac{ac_2 - 1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{2} \iff c_2 = \frac{\sqrt{a} + 2}{2a}\).

Folglich ist unsere Lösung zum AWP:

\(x(t) = \frac{\sqrt{a} + 2}{2a} \sin(t\sqrt{a}) - \frac{t}{\sqrt{a}}\cos(t\sqrt{a})\)

Lg

Comments

Ist x(t) überhaupt richtig?

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Leider nicht. Habe da etwas übersehen, sry. Ist korrigiert.

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Hier habe ich dir nochmal den Graphen geplottet, damit du deine Skizze kontrollieren kannst:

Faszinierender Graph!

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Danke für deine ausführliche Antwort!

Wie kommst du auf Wurzel (2) bei \(x_p(t) = t b_1 \cos(t\sqrt{a}) + t b_2 \sin(t\sqrt{2})\)

Und fehlt da nicht das cos bei \(-2\sqrt{a} b_1 \sin(t\sqrt{a}) = 2\sin(t\sqrt{a}) \implies b_1 = -\frac{1}{\sqrt{a}}\)?

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Die \(2\) in der Wurzel war ein Tippfehler. Da sollte natürlich

\(x_p(t) = t b_1 \cos(t\sqrt{a}) + t b_2 \sin(t\sqrt{a})\)

stehen.

Leitest du \(x_p(t)\) nun zweimal nach \(t\) ab und setzt dies dann in die DGL \(x''(t) + a x(t)\) ein, erhältst du zusammengefasst einen Ausdruck der Form

\( 2\sqrt{a} b_2 \cos(t\sqrt{a}) - 2\sqrt{a} b_1 \sin(t \sqrt{a}) \).

Wenn wir nun die gesamte inhomogene DGL betrachten,

\( 2\sqrt{a} b_2 \cos(t\sqrt{a}) - 2\sqrt{a} b_1 \sin(t \sqrt{a}) = 2\sin(t \sqrt{a}) \),

sehen wir sofort, dass \(b_2 = 0\) sein muss. Deshalb habe ich in meiner Rechnung nur

\(  - 2\sqrt{a} b_1 \sin(t \sqrt{a}) = 2\sin(t \sqrt{a}) \)

erwähnt.

Answer 2

Hallo,

Ich hábe die Einheiten der Übersicht halber weggelassen, umgerechnet habe ich aber.

die Lösung der DGL kannst Du durch Wolfram Alpha kontrollieren

https://www.wolframalpha.com/

ohne AWB :

\( x(t)=c_{2} \sin \left(5 \sqrt{\frac{10}{3}} t\right)+c_{1} \cos \left(5 \sqrt{\frac{10}{3}} t\right)-\frac{1}{5} \sqrt{\frac{3}{10}} t \cos \left(5 \sqrt{\frac{10}{3}} t\right) \)

mit AWB:

\( x(t)=-\frac{1}{5} \sqrt{\frac{3}{10}} t \cos \left(5 \sqrt{\frac{10}{3}} t\right)+\frac{1}{250} \sqrt{\frac{3}{10}}(25+\sqrt{30}) \sin \left(5 \sqrt{\frac{10}{3}} t\right) \)

Comments

Danke für die Antwort

Kannst du das bitte selbst ohne AWB errechnen....

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Hallo,

.......................

Answer 3

y(t) = a·COS(9.13·t) + b·SIN(9.13·t)

hattest du ja soweit richtig.

y'(t) = - 9.13·a·SIN(9.13·t) + 9.13·b·COS(9.13·t)

Nun soll gelten

y'(0) = - 9.13·a·SIN(9.13·0) + 9.13·b·COS(9.13·0) = 0.5 --> b = 0.0548

y(0) = a·COS(9.13·0) + b·SIN(9.13·0) = 0 → a = 0

Also

y(t) = 0.0548·SIN(9.13·t)

Wolframalpha ergibt als Vergleichslösung

Comments

Ist der Ansatz nicht

y''(x) + D/m·y(x) = 0 sondern y''(x) + D/m·y(x) = 2·SIN(D/m·x)

Dann ist die allgemeine Lösung

y(x) = a·COS(√(D/m)·x) + b·SIN(√(D/m)·x) + 2·SIN(√(D/m)·x)) / (√(D/m) - D/m)