Inhomogene Differentialgleichung 2.Ordnung. x'' - 6x' + 5x = e^{2t}

Question

Hallo Community,

ich benötige Hilfe bei dieser Aufgabe! Wie muss ich hier vorgehen?

Vielen Dank für Antworten

Inhomogene Differentialgleichung 2.Ordnung. x'' - 6x' + 5x = e^{2t} 

Answer 1

$$ \ddot x-6\dot x+5x=e^{2t} $$
---
$$x=u+C\cdot e^{2t}$$
$$\dot x=u'+2C\cdot e^{2t}$$
$$\ddot x=u''+4C\cdot e^{2t}$$
---
$$ u''+4C\cdot e^{2t}-6\cdot( u'+2C\cdot e^{2t})+5\cdot (u+C\cdot e^{2t})=e^{2t} $$
$$ u''+4C\cdot e^{2t}-6\cdot u'-12C\cdot e^{2t}+5\cdot u+5C\cdot e^{2t}=e^{2t} $$
$$ u''-6\cdot u'+5\cdot u-3C\cdot e^{2t}=e^{2t} $$
$$ u''-6\cdot u'+5\cdot u=e^{2t} +3C\cdot e^{2t}$$
$$ 0=e^{2t} +3C\cdot e^{2t}$$
$$ 0=1 +3C$$
$$C = -\frac 13$$
$$x=u-\frac 13\cdot e^{2t}$$
$$\dot x=u'-\frac 23\cdot e^{2t}$$
$$\ddot x=u''- \frac 43 \cdot e^{2t}$$
---
$$ \ddot x-6\dot x+5x=e^{2t} $$
$$ u''- \frac 43 \cdot e^{2t} -6\cdot (u'-\frac 23\cdot e^{2t})+5\cdot (u-\frac 13\cdot e^{2t})=e^{2t} $$
$$ u''- \frac 43 \cdot e^{2t} -6\cdot u'+4\cdot e^{2t}+5\cdot u-\frac 53\cdot e^{2t}=e^{2t} $$
$$ u''-6\cdot u' +5\cdot u   - \frac 43 \cdot e^{2t} +4\cdot e^{2t}-\frac 53\cdot e^{2t}=e^{2t} $$
$$ u''-6\cdot u' +5\cdot u    +4\cdot e^{2t}-\frac 93\cdot e^{2t}=e^{2t} $$
$$ u''-6\cdot u' +5\cdot u   =0 $$

Comments

$$ u''-6\cdot u' +5\cdot u   =0 $$
$$u= e^{\lambda t}$$
$$u'=\lambda \cdot  e^{\lambda t}$$
$$u''=\lambda^2 \cdot  e^{\lambda t}$$
$$ \lambda^2 \cdot  e^{\lambda t}-6\cdot \lambda \cdot  e^{\lambda t} +5\cdot  e^{\lambda t}   =0 $$
$$ (\lambda^2 -6\cdot \lambda  +5)\cdot  e^{\lambda t}   =0 $$
$$ \lambda^2 -6\cdot \lambda  +5   =0 $$
$$ \lambda^2 -6\cdot \lambda +9    =9-5$$
$$ (\lambda -3)^2   =4$$
$$ \lambda -3  =\pm2$$
$$ \lambda _1  =3+2$$
$$ \lambda _2  =3-2$$
$$u= A \cdot e^{5\cdot t}+B\cdot e^{ t}$$