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Aufgabe (DGL 2.Ordnung):

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL.

\( y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-15 y=5 x^{2}-8 x \)

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Hier handelt es sich um eine DGL 2. Ordnung inhomogener Natur. Die Lösung solcher Gleichungen hat zwei Bestandteile, den homogenen und den partikulären:

y(x) = yh(x) + yp(x)

Die homogene Lösung beschafft man sich, wenn man die Störfunktion (rechte Seite in der obigen Gleichung) negiert:

y'' + 2y' - 15y = 0     (1)

Lösen über die charakteristische Gleichung -> y = e r*x

y' = r*e r*x  und y'' = r*r*e r*x

In Gl. (1) alles einsetzen, folgt

r*r*e r*x + 2*r*e r*x - 15*e r*x = 0

r2 + 2*r - 15 = 0 (quadr. Gl.) -> Lösungen: r1 = 3 und  r2 = -5

Homogene Lösung yh(x) = C1*e r1*x + C2*e r2*x = C1*e 3*x + C2*e -5*x 

Die partikuläre Lösung richtet sich nach den Vorfaktoren in der linken Seite der o. g. DGL. In unserem Fall ist der Vorfaktor vor dem y ungleich Null und die beiden anderen Vorfaktoren ebenso.

Die Störfunktion war g(x) = 5x2 - 8x

Somit gilt für das Polynom, was man der partikulären Lösung zugrunde legt, das es den selben Grad hat, wie die Störfunktion. In unserem Fall n = 2.

Die partikuläre Lösung muss demnach ähnlich der Störfunktion aussehen. Deshalb schreiben wir die allgem. Form eines Polynom 2. Grades auf:

yp = a2*x2 + a1*x + a0

-> y'p = 2*a2*x + a1  und y''p = 4*a2

Das setzen wir alles in die komplette DGL ein:

4*a2 + 2*(2*a2*x + a1) - 15*(a2*x2 + a1*x + a0) = 5x2 - 8x

4*a2 + 4*a2*x + 2*a1 - 15*a2*x2 - 15*a1*x -15*a0 = 5x2 - 8x

- 15*a2*x2 - 15*a1*x + 4*a2*x  - 15*a0 + 4*a2 + 2*a1 = 5x2 - 8x

Nun machen wir ein Koeffizientenvergleich und schauen, was alles jeweils vor dem x2, vor dem x etc. steht:

x2 : - 15*a2 = 5 -> a2 = -1/3

x  : 4*a2 - 15*a1 = -8 -> a1 = 4/9

0  : - 15*a0 + 4*a2 + 2*a1 = 0 -> a0 = 2/135

=> yp(x) =  -x2/3 + 4*x/9 -4/135

=> y(x) =  C1*e 3*x + C2*e -5*x - x2/3 + 4*x/9 + 2/135

Falls ich mich nicht verrechnet habe.

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Habe ich auch so, nur ist mein letzter Koeffizient in der partikulären Lösung +2/135 ;)

ja stimmt 2/135 ist richtig. Ich korrigiere es oben bei mir. Danke für den Hinweis.

Danke sehr das hätte ich alleine nicht hinbekommen. Vor allem auch die Erklärungen haben bestens zu meinem Verständnis beigetragen. Schade, dass ich da nur einen Punkt geben kann :) Liebe Grüße

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