Hier handelt es sich um eine DGL 2. Ordnung inhomogener Natur. Die Lösung solcher Gleichungen hat zwei Bestandteile, den homogenen und den partikulären:
y(x) = yh(x) + yp(x)
Die homogene Lösung beschafft man sich, wenn man die Störfunktion (rechte Seite in der obigen Gleichung) negiert:
y'' + 2y' - 15y = 0 (1)
Lösen über die charakteristische Gleichung -> y = e r*x
y' = r*e r*x und y'' = r*r*e r*x
In Gl. (1) alles einsetzen, folgt
r*r*e r*x + 2*r*e r*x - 15*e r*x = 0
r2 + 2*r - 15 = 0 (quadr. Gl.) -> Lösungen: r1 = 3 und r2 = -5
Homogene Lösung yh(x) = C1*e r1*x + C2*e r2*x = C1*e 3*x + C2*e -5*x
Die partikuläre Lösung richtet sich nach den Vorfaktoren in der linken Seite der o. g. DGL. In unserem Fall ist der Vorfaktor vor dem y ungleich Null und die beiden anderen Vorfaktoren ebenso.
Die Störfunktion war g(x) = 5x2 - 8x
Somit gilt für das Polynom, was man der partikulären Lösung zugrunde legt, das es den selben Grad hat, wie die Störfunktion. In unserem Fall n = 2.
Die partikuläre Lösung muss demnach ähnlich der Störfunktion aussehen. Deshalb schreiben wir die allgem. Form eines Polynom 2. Grades auf:
yp = a2*x2 + a1*x + a0
-> y'p = 2*a2*x + a1 und y''p = 4*a2
Das setzen wir alles in die komplette DGL ein:
4*a2 + 2*(2*a2*x + a1) - 15*(a2*x2 + a1*x + a0) = 5x2 - 8x
4*a2 + 4*a2*x + 2*a1 - 15*a2*x2 - 15*a1*x -15*a0 = 5x2 - 8x
- 15*a2*x2 - 15*a1*x + 4*a2*x - 15*a0 + 4*a2 + 2*a1 = 5x2 - 8x
Nun machen wir ein Koeffizientenvergleich und schauen, was alles jeweils vor dem x2, vor dem x etc. steht:
x2 : - 15*a2 = 5 -> a2 = -1/3
x : 4*a2 - 15*a1 = -8 -> a1 = 4/9
0 : - 15*a0 + 4*a2 + 2*a1 = 0 -> a0 = 2/135
=> yp(x) = -x2/3 + 4*x/9 -4/135
=> y(x) = C1*e 3*x + C2*e -5*x - x2/3 + 4*x/9 + 2/135
Falls ich mich nicht verrechnet habe.
