Für welche Werte von a, b, c, d, e ist die Matrix A diagonalisierbar?

Question

Aufgabe:

Es seien \( a, b, c, d, e \) reelle Zahlen und \( A \) die reelle Matrix

\( \left(\begin{array}{lllll}7 & a & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 7 & 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c & d & e \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right) \)

(i) Bestimmen Sie Rang \( \left(A-3 I_{5}\right) \), Rang \( \left(A-c I_{5}\right) \) und \( \operatorname{Rang}\left(A-7 I_{5}\right) \) in Abhängigkeit von \( a, b, c, d, e \)

(ii) Für welche Werte von \( a, b, c, d, e \) ist \( A \) diagonalisierbar?

Es ist mir unklar was genau ich hier machen muss. Bei der (i): rechne ich hier einfach ganz normal den Rang aus?

Answer 1

zu (i): ja, ganz normal die Ränge bestimmen. Ist aber ein bisschen aufwendig,
da ja von den Parametern abhängig.

zu (ii): Ich bekomme hier zwei wesentliche Fälle:

1. \(c=7\): dann ist die algebraische Vielfachheit \(\mu_a(7)=4\)

Für den Rang habe ich
\(Rang(A-7I_5)\geq 2\), also für den Eigenraum zu \(7\) und die geometrische Vielfachheit
\(\mu_g(7)=\dim(Eig(7))\leq 5-2=3\lt \mu_a(7)=4\), also nicht diagonalisierbar.

2. \(c\neq 7\): dann ist die algebraische Vielfachheit \(\mu_a(7)=3\)

Für den Rang habe ich
\(Rang(A-7I_5)=3\), also für den Eigenraum zu \(7\) und die geometrische Vielfachheit
\(\mu_g(7)=\dim(Eig(7))=5-3=2\lt \mu_a(7)=3\), also ebenfalls nicht diagonalisierbar.