Zeigen Sie, dass für alle n ∈ ℕ gilt, dass a_n > 1/5

Question

Aufgabe:

a_n = \( \frac{3+5a_{n-1}}{20} \) a₁ = 1

a) Zeigen Sie, dass für alle n ∈ ℕ gilt, dass a_n > \( \frac{1}{5} \)

b) Zeigen Sie, dass a_n monoton fallend ist

c) Bestimmen Sie den Grenzwert

Kann mir hier bitte jemand helfen?

Answer 1

\(a_n =  \frac{3+5a_{n-1}}{20}     ;    a_1 = 1\)

a)

Gilt \(a_n = \frac{3+5a_{n-1}}{20} > 1/5\)?

IA

\(a_1=1>1/5\)

IV

Sei \(a_{n-1}>1/5\)

ISchritt

\(a_n = \frac{3+5a_{n-1}}{20}  > \frac{3+5\cdot 1/5}{20}  =\frac4{20}=\frac15 \)

b)

Induktionsanfang ...

Induktionsvoraussetzung ...

Induktionsschritt:

\(a_{n+1}-a_n\\=   \dfrac{3+5a_{n}}{20} -   \dfrac{3+5a_{n-1}}{20}\\ =\dfrac14(a_n-a_{n-1})<0\)

\(\Rightarrow a_{n+1}-a_n<0\)

Die Folge ist monoton fallend.

:-)

Comments

Das ist jetzt die a oder?

Wie genau kommt man vom vorletzten Schritt auf den letzten? Und wieso folgt daraus die Behauptung?

---

Das ist b), weil a_n+1 kleiner als a_n ist.

In der vorletzten Zeile sind die Nenner gleich, also kannst du die Zähler subtrahieren.

Answer 2

Hallo :-)

a) und b) gehen mit Induktion zu zeigen. Mit diesen beiden Kriterien (nach unten beschränkt und monoton fallend) hast du nämlich gezeigt, das deine Folge konvergiert, also einen Grenzwert besitzt.

Somit ist auch c) erst sinnvoll zu lösen, da man jetzt die Existenz vom Grenzwert kennt, also \(g:=\lim a_{n-1}\) existiert. \(a_n\) ist dieselbe Folge wie \(a_{n-1}\) mit Indexverschiebung um eins, weshalb gilt \(\lim a_n=\lim a_{n-1}\).

Also hast du $$g=\lim a_n=\lim \frac{3+5a_{n-1}}{20}=\left(\lim \frac{3}{20}\right)+\left(\lim \frac{5}{20}\cdot a_{n-1}\right)=\frac{3}{20}+\frac{5}{20}\cdot g$$.

Das musst du jetzt nur noch lösen. So eine Gleichung wird auch als Fixpunktgleichung bezeichnet.