Zeigen Sie, dass es monotone Folgen $(a_n)_{n∈ ℕ}$ und $(b_n)_{n∈ ℕ}$ mit $a_n, b_n ∈ A$ für alle $n ∈ ℕ$ gibt, mit

Question

Aufgabe:

Sei \(A \subseteq \mathbb{R}\) nichtleer und beschränkt. Zeigen Sie, dass es monotone Folgen \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) und \((b_n)_{n\in \mathbb{N}}\) mit \(a_n, b_n \in A\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) gibt, mit

$$ \lim \limits_{x \to \infty} a_n \text{ sup}A \quad \text{ und } \quad \lim \limits_{x \to \infty} b_n \text{ inf}A $$

Problem/Ansatz:

Ich hab Probleme die Aufgabe überhaupt anzufangen.. kann mir da jemand weiterhelfen?

Answer 1

Idee für sup: A  beschränkt ==>   sup(A) ∈ ℝ.

1.Fall  sup(A)∈A, dann tut es die konstante Folge mit a_n = sup(A) f. alle n∈ℕ.

2. Fall :   sup(A)∉A.        A≠∅ ==>  ∃x∈A.

sup(A)∉A ==>    x < sup(A).

Dann definiere die Folge (a_n)_n∈ℕ so:    a₀ = x

Dann weiter rekursiv: Wähle \( a_{n+1} \in \{ z \in A | \frac{a_n + sup(A)}{2} < z <  sup(A) \} \)

Anschaulich also so: Du fängst mit einem x∈A an. Da x < sup(A) ist,

kannst du die Mitte des offenen Intervalls von x bis sup(A) betrachten.

Rechts von der Mitte liegen noch Elemente von A, denn sonst wäre die

Mitte eine obere Schranke für A im Widerspruch dazu, dass diese

Mitte kleiner als sup(A) ist. Also kann man aus der  Menge der  x∈A, die

rechts von der Mitte liegen ein Element wählen. Das ist dann a_n+1 .

Comments

Ah okay, ergibt Sinn.. was genau ist aber z? Ein weiteres Element in A?

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Die z's sind alle Elemente von A, die zwischen

\( \frac{a_n + sup(A)}{2}  \)  und sup(A) liegen.

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ah okay, jetzt sehe ich es auch.. der strich dazwischen hat mich etwas verwirrt.. danke!

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Ich kenne das so:

\(  \{ z \in A | \dots  \} \)

heißt: Menge aller z aus A, für die gilt ...