Vollständige Induktion und zeigen, dass 0,9090… eine rationale Zahl

Question

Aufgabe:

(a) Mit vollständiger Induktion beweisen, dass

\( \sum\limits_{n=0}^{k}{x^k} \) = \( \frac{1-x^{k+1}}{1-x} \)

(b) Zeigen, dass 0,9090… eine rationale Zahl ist und diese bestimmen.

Problem/Ansatz:

Leider habe ich noch ab und zu Probleme mit vollständigen Induktionen und weiß nicht wie ich bei dieser vorgehen muss bzw. ich komme zu keinem richtig aussehendem Ergebnis, wie müsste man diese hier lösen?

Und wie muss ich das dann für die (b) beweisen bzw. zeigen? Muss ich die Zahl einfügen und ausrechnen oder wie?

Comments

\( \sum\limits_{n=0}^{k}{x^k} \) = \( \frac{1-x^{k+1}}{1-x} \)

Hallo,

muss es nicht eher so aussehen:

\( \sum\limits_{k=0}^{n}{x^k} \) = \( \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \)

Answer 1

(b) Zeigen, dass 0,9090… eine rationale Zahl ist und diese bestimmen.

1x=   0,909090...
100x=90,909090...
Subtrahieren:
99x=90
x=90/99=10/11

a) \( \sum\limits_{k=0}^{n}{x^k} \) = \( \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \)

I.Anf.

n=0

Links: x^0=1

Rechts: (1-x)/(1-x)=1 ✓

I.Vorauss.

\( \sum\limits_{k=0}^{n}{x^k} \) = \( \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \) gelte für ein festes n.

I.Schritt: n--> n+1

\( \sum\limits_{k=0}^{n+1}{x^k}  \\=  \sum\limits_{k=0}^{n}{(x^k)} +x^{n+1}\\= \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x} +x^{n+1}\\= \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x} +\dfrac{x^{n+1}(1-x)}{1-x}\\=   \dfrac{1-x^{n+1}+x^{n+1}-x^{n+2}}{1-x}   \\=\dfrac{1-x^{n+2}}{1-x} \)  ✓

:-)

Comments

Vielen Dank für die Antwort! :)

Wieso wurde da mit 99x=90 gerechnet? Also warum nicht mit der 100x?

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Subtrahiere die zweite minus die erste Zeile. 100x-1x=99x

:-)

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Ich habe meine Antwort ergänzt.

:-)

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Dankeschön! Hat mir sehr geholfen! :)