Hei, also mit den Kugeln ist erstmal der erste Fehler, dass du diese um eine Menge legen möchtest. Beim Inneren beispielsweise geht es aber darum, dass du sagst: EIN PUNKT ist im inneren Enthalten, wenn du eine Kugel findest UM DIESEN PUNKT mit einem Radius größer 0, sodass dies Kugel vollständig In Den ganzen Zahlen enthalten ist. Und das Innere besteht natürlich aus allen inneren Punkten.
Die Argumentation ist folgende: Wenn du das Innerer der ganzen Zahlen als TEILMENGE VON R bestimmen solltest, dann musst du alle INNEREN Punkte finden. Das Problem ist aber nach unserer eben genannten Definition über einen inneren Punkt müsste es dann um einen solchen Punkt eine Kugel mit Radius größer 0 geben, sodass diese Kugel vollständig in deiner Menge also in den ganzen Zahlen liegt. Dann ist dieser Punkt ein innerer Punkt. Da aber wenn du einen Radius größer 0 wählst, wären in dieser Kugel noch z.b. Rationale Zahlen enthalten. Warum?
Weil hier die ganzen Zahlen als Teilmenge von R betrachtet wird. Das heißt wenn du zum Beispiel 2 als Punkt nimmst und du jetzt nen Radius mit z. B. 0,1 um diesen Punkt nimmst, dann hättest du die Kugel als offenes Intervall von 1.9 bis 2.1. In diesem Intervall sind aber nicht ganze Zahlen enthalten z. B 1.92
Also liegt die Kugel nicht vollständig in Z und damit ist 2 kein innerer Punkt. Da dieses Argument für jedes ganze Zahl gilt, existiert kein innerer Punkt und damit ist dein inneres Leer.
