Berechne den Vektor der Rakete, um das Flugzeug zu treffen.

Question

Aufgabe:

ein Flugzeug befindet sich in einem Koordinatensystem an Position (P(x,y,z): P(2.000, 10.000, 2000) auf dem Vektor ( v=(x|y|z) ): v = (10,1,2) mit einer Geschwindigkeit von 200 m/s . An Punkt P rakete(0,0,0) wird eine Rakete mit 2000 m/s Geschwindigkeit abgefeuert. Berechne den Vektor der Rakete, um das Flugzeug zu treffen.

Problem/Ansatz:

  mein Ansatz wäre ein Gleichungssystem. Sprich Position der Rakete gleich der des Flugzeuges, aber irgendwie stimmt (10,1,2)*t = (x,y,z)*t das nicht?!

Answer 1

Ich hab den Eindruck, dass es bei Dir an Kleinigkeiten scheitert - Du warst auf dem richtigen Weg.

Vielleicht könnte ein CAS wie z.B. GeoGebra helfen da Fehler leichter zu finden.

Besonders, wenn die Aufgabenstellung zu keinem "schönen" Ergebnis führt:

Raketen-Gerade ergänzt

Comments

@Ochropyra Ergänzung bzgl. Umformung der Gleichungen im zweidimensionalen Fall, wo du 1=4 rausbekommst. "wächter" hat dich ja schon auf den Rechenfehler hingewiesen.

Bitte niemals durch eine Variable teilen, denn dir gehen damit "Informationen" verloren! Außerdem teilt man eventuell durch eine Null!

Besser ist ausklammern.

t=4*t*x       Dies ist deine Gleichung oben. Hier hast du durch t geteilt. Hilfreicher ist -t.

0=4*t*x-t    Jetzt t ausklammern.

0=t*(4*x-1) Nun gilt der Satz vom Nullprodunkt.

t=0 oder 4*x-1=0

t=0 ist die Startbedingung und nicht von Interesse.

4*x=1, also x=1/4

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Danke,

welchen CAD hast du denn verwendet und was genau eingegeben, für diese Grafik?

LG

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Wie ich sagte GeoGebra.

Flugzeug-Kurs-Gerade:

f(t):=P+ 200*t*(10, 1, 2) / sqrt(105)

und die Kurs-Gerade der Rakete r(t) hab ich oben ergänzt

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Wenn ich in Geogebra: "f(t):=P+ 200*t*(10, 1, 2) / sqrt(105)" eingebe, dann passiert gar nichts.

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Ich habe Geogebra oder ähnliches noch nie verwendet, daher die Frage:

Du hast ja eine schöne Grafik erhalten, wo man den Schnittpunkt sieht. Ich habe jetzt beide von dir angegebenen Funktionen kopiert, aber z.B. "f(t):=P+ 200*t*(10, 1, 2) / sqrt(105)" wird nicht gezeichnet, wie z.B. f(x) = 2x, sondern es steht oben links an der Zeile nur ein Plus- Ich sehe gerade auch auf deinem Screenshot, dass da mehrere Punkte vorliegen, hast du die Funktionen vorher gleichgesetzt und der Rechner hat dann den Rest erledigt?

LG

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das gehört ins CAS der classic app.

https://www.geogebra.org/classic#cas

ohne anführungszeichen

und 3D Grafik Fenster offen (ggf. öffnen und skalieren)

P muss gesetzt sein

P:=(2000,10000,2000)

du kannst auch im algebra fenster mit dem geraden befehl line() zeichnen.

welche version verwendest du die 5.0 unter einem desktop läuft am besten, touch devices funken nur eingeschränkt, z.B. 6.0:

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Also Reihenfolge:

1.P:=(2000,10000,2000)

2.f(t):=P+ 200*t*(10, 1, 2) / sqrt(105)   (und natürlich habe ich keine Anführungszeichen                                                                 verwendet :) )

3.g(t):=P +2000*t*(x,y,z). ?!

Bei dir scheint das Programm ja alles selbst ausgerechnet zu haben?! Sag mir bitte nur einmal was man eingeben muss, damit der Rechner das selbstständig wie bei dir löst.

LG

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@wächter

Ich weiß nicht woran es liegt, obwohl ich deinen Anweisungen über das Bild gefolgt bin zeichnet er nichts...

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Nachtrag: Du bist in den 10000er, DU musst die Achsen Skalieren - Drehe am Mausrad oder

Du bist zu nah dran;-)

Ich hab meine App hochgeladen

https://www.geogebra.org/m/tpawp8j2

kannst DU studieren und ggf rückfragen...

selbstständig rechnen: meinst Du die übernahme von Ergebnisse in einen neuen Rechenschritt?

Substitute() oder Ersetzen()

wenn ein Ergebnis als Liste ausgeworfen wurde z.B.

(1) X:={t=5}

dann setze ich das Ergebnis X z.B. in eine Gerade ein g(t) als

(2) Subsitute(g(t),X)

t wird durch den Ausdruck in X ersetzt. Wenn man in der Classic version keine Variable setzt, wie hier X, dann bezieht man sich auf die Zeilennummer könnte also auch

(2) Subsitute(g(t),$1)

schreiben...

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Danke. Also im ersten Schritt definierst du die Funktion für das Flugzeug, im zweiten wenn ich das richtig verstanden habe, setzt du durch das Symbol: "-" die in Schritt 1 definierte Funktion mit der für die Rakete gleich und schreibst die Gleichung für die Dreiecksberechnung auf?!

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das Symbol: "-" ist ein Minus

CAS Syntax a = b wird zu a-b=0 und die 0 wird nicht geschrieben...

Welches Dreieck - da ist kein Dreieck in der Überlegung!

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In der App sind 2 Rechenwege

Zeile 1- 6: GLS mit den 4 Gleichungen - dem CAS ist es egal das löst auch sowas.

Zeile 7-10: Schrittweise wie man eventuell ehr händisch rechnen würde

Löse das GLS 3x3 Gerade x Gerade

und normiere das berechnete Ergebnis x^2+y^2+z^2=1

gib bitte die Zeilennummer an auf die Du dich beziehst...

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Mich irritiert ja schon Zeile 1... Da ich nicht mit GeoGebra, geschweige denn der Syntax vertraut bin, frage ich mich was das Programm von Zeile 1 zu Zeile 2 macht. Soll das in Zeile 2 der Vektor sein? Also einfach nur von 1 nach 2 zusammengefasst?!

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(1) Definition von f(t) Kursgerade durch P

(2) { f(t) - Raketenkurs(x,y,z) , normierung(x,y,z) } GLS aufstellen

f(t) - Raketenkurs(x,y,z)=0: sind 3 Gleichungen in den Koordinaten x,y,z,t

angehängt/ergänzt Normierung (4.Gleichung) x^2+y^2+z^2=1

(3) löse GLS von $2 und erhalte t=,x=,y=,z=

(4) t=5.39 ausgelesen von $3 und eingesetzt

(5) in f(t) [also f(5.39)] ergibt den Punkt P' wo die Rakete das Fluzeug trifft

(6) Raketenkurs als gerade zusammensetzen mit x,y,z aus $3

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Ok, super. Aber was meinst du mit: "f(t) - Raketenkurs(x,y,z)=0: sind 3 Gleichungen in den Koordinaten x,y,z,t angehängt/ergänzt Normierung (4.Gleichung) x2+y2+z2=1"?

Ist damit jeweils die x Komponente der Rakete minus x Komponente des Flugzeuges gleich 0 und das Selbe für y und z gemeint? Dann käme man ja damit auf drei Gleichungen plus die separate. Der Rest ist mir klar. Danke

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Ja, ganau so ist das - richtig erkannt.

Es liest sich in dieser Form etwas kryptisch, weil man die Ergebnisse von Zeile zu Zeile weiterreicht - DU kannst aber deshalb z.B. den Punkt P verschieben (mit der Maus) und die Rechnung passt sich den geänderten Werten an und liefert....

Answer 2

hallo

1. Gerade von Flugzeug in der Zeit t:  P+v/|v|*200*t

Gerade Rakete 0+2000*(x,y,z)*t  dabei ist (x,y,z) ein Vektor mit Betrag 1.

wobei ich annehme , dass t=0 F in P und R in 0.

Gruß lul

Comments

Hallo,

und wie lautet dann der Vektor der Rakete?!

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Den sollst du doch durch gleichsetzen ausrechnen? ich hab ihn (x,y,z) genannt.

lul

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@lul    In der Geradengleichung vom Flugzeug soll der auf die Länge 200 gebrachte Vektor v vermutlich noch mit dem Parameter t multipliziert werden?

@ Orchropyra   Du bist ja mit deinem Ansatz auf dem richtigen Weg. Ich entnehme deinem Ansatz (in dem die Position P des Flugzeugs und die Geschwindigkeit des Flugzugs bzw. der Rakete nicht genutzt werden), dass du verstanden hast, dass du ein Gleichungssystem mit 4 Variablen zu lösen hast. Nutze den Hinweis von lul, dass (x,y,z) ein Vektor der Länge 1 ist. Das Gleichungssystem "Flugzeug" = "Rakete" mit drei Gleichungen wird um die 4. Gleichung x^2+y^2+z^3=1^2 ergänzt.

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Was meinst du mit: "v/|v|"? Mein Ansatz wäre zunächst einmal dann so:

\( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \) +

tr*\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)

und die Gerade für das Flugzeug:

\( \begin{pmatrix} 2000\\10000\\2000 \end{pmatrix} \) +

tf*\( \begin{pmatrix} 10\\1\\2 \end{pmatrix} \)

?! Wie kommt ihr dann auf die anderen Schritte?

LG

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Bei mir kommt für t dann auch immer was negatives raus...

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hallo

für das Flugzeug muss man dein Einheitsvekor in Flugrichtung also (10,1,2)*1/(√(10^2+2^2+1^2) mit der Geschwindigkeit also 200 multiplizieren und zu P addieren dein Ansatz für das Flugzeug ist also falsch.

lul

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Ok,

also was genau rechnest du da jetzt aus?! Der Richtungsvektor ist ja: (10,1,2).   "(√(102+22+12)" berechnet die Hypotenuse.

Aber warum multiplizierst du den Kehrwert der Hypotenuse mit dem Vektor.

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Damit Du weiter kommst.

Wo siehst Du ein rechtwikliges Dreieck?

lul berechnet den Betrag, die Länge des Vektors - der muß auf 1 gesetzt werden, damit man die Geschwindigkeit (m/s) einsetzen kann und t in Sekunden bewegt wird....

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Ich habe jetzt zum Verständnis eine "einfachere" Aufgabe in der zweiten Dimension gewählt. Vielleicht kannst du mir ja sagen, wo der Fehler liegt?! ;)

Anstatt 3d Dimension also:

Flugzeug an Punkt Pf(0|6) und Einheitsvektor: vf = (1,0), das Flugzeug fliegt also einfach geradeaus ohne zu sinken oder zu steigen. Geschwindigkeit = 1 m/s (einfacher zu rechnen).

Rakete an Punkt Pr(0,0), Geschwindigkeit 4m/s.

Die Gerade für das Flugzeug: gf: \( \begin{pmatrix} 0\\6\\ \end{pmatrix} \) + t * 1 * \( \begin{pmatrix} 1\\0\\ \end{pmatrix} \)

Die Gerade für die Rakete: gr: \( \begin{pmatrix} 0\\0\\ \end{pmatrix} \) + t * 4 * \( \begin{pmatrix} x\\y\\ \end{pmatrix} \)

Soweit müsste ja alles stimmen?!

Da wir aber 3 Variablen und nur 2 Gleichungen haben braucht es noch eine dritte Gleichung: x ² + y² = 1²

Gleichungssystem:

0 + t * 1 * 1 = 0 + t * 4 * x

<=> t = 4 * t * x                 | : t

<=> 0 = 4*x                       | : 4

<=> 0 = x

Setzt man dann 0 für x in t = 4 * t * x ein:

t = 4 * t * 1   | : t

1 = 4    kommt eine falsche Aussage heraus. Wo ist da der Fehler?

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@ Wächter

Siehst du den Fehler in meinem vorletzten Beitrag?

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Komische Gleichung ich komme auf

\( \left\{ g_f\left(t \right) - g_r\left(t \right)=0,\; x^{2} + y^{2} = 1 \right\} \)

\(\left\{ -4 \; t \; x + t, -4 \; t \; y + 6, x^{2} + y^{2} = 1 \right\} \)

ADD:

Ach ja, Dein Fehler - Du sollst t berechnen und nicht aus dem Rennen nehmen - das ist eine potentielle Division durch 0 - damit kann man alles beweisen auch das 4=1 ist ;-)

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@ Wächter

Jetzt verstehe ich gar nichts mehr.... Weshalb schreibt du zuerst zwei Gleichungen in geschweifte Klammern und unten drunter 2 Terme und 1 Gleichung?!

Und was ist an meinen Gleichungen "komisch"? ;) Da der x Wert und der y Wert der jeweiligen Gerade gleich sein soll und t für bei gleich ist stimmt das doch?!

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x,y sind nicht gleich - sie sollen die Richtung der Rakete angeben (Wer stellt so kriegerische Aufgaben?)

\(g_r(t) = g_f(t) \to \left( \begin{array}{rr}x \cdot 4 \; t \\ y \cdot 4 \; t \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr}t \\ 6 \end{array} \right) \to \left( \begin{array}{rr}x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr}\frac{1}{4} \\ \frac{3}{2 \; t} \end{array} \right) \)

\(\to \left(\frac{1}{4} \right)^{2} + \left(\frac{3}{2 \; t} \right)^{2} = 1 \to \frac{t^{2} + 36}{16 \; t^{2}} = 1 \to ...\)

kommst Du jetzt weiter?

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Ich habe dann ja 3 Gleichungen:

1. t = 4*t*x

2. 6 +t * 1 * 0 = t * 4 * y

3. x² + y² = 1²

Die sollten doch stimmen?! Ich setze den x Wert des Flugzeuges mit dem der Rakete gleich bei 1, und das Selbe für y bei 2.

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Das ist alles richtig!

Nur musst Du x,y aus dem Treffpunkt beider Geraden bestimmen und dann t so einrichten, dass (x,y) den Betrag 1 hat, damit die 4 in g_f die richtige Geschwindigkeit angibt...

Vielleicht als Nachgang und Richtigstellung des Fehlers Deiner Rechnung

<=> t = 4 * t * x               | : t

<=> 1 = 4*x                     | : 4

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@ wächter

Ja,

mit deiner Methode habe ich es jetzt hinbekommen. Das Prinzip ist mir auch eigentlich klar: Gleichungen aufstellen, um das Geschehen zu modellieren, da es mehrere Variablen gibt auch mehrere Gleichungen und dann das Gleichungssystem lösen.

Deine Strategie besteht ja in der Überlegung, dass bei einer Kollision die Koordinaten gleich sind, also gr(t) = gf(t), damit kann man dann gut x auslesen und hat für y nur einen Term mit t. Der Rest ist ja dann nur in die 3. Gleichung einzusetzen und dann auflösen?! dabei erhalte ich auch Werte, die grafisch eingetragen Sinn ergeben.

Was mir noch etwas unklar ist, sind meine Gleichungen. Anscheinend stimmen diese, aber wenn ich diese gleich setze, müsste es doch eigentlich genauso wie bei dir funktionieren?!

LG

Answer 3

$$\left| \begin{pmatrix} 2000\\10000\\2000 \end{pmatrix} + t \cdot \frac{200}{\sqrt{10^2 + 1^2 + 2^2}} \cdot \begin{pmatrix} 10\\1\\2 \end{pmatrix} \right| = 2000 \cdot t \quad \rightarrow \quad t = 5.394814051$$

$$\begin{pmatrix} 2000\\10000\\2000 \end{pmatrix} + 5.394814051 \cdot \frac{200}{\sqrt{10^2 + 1^2 + 2^2}} \cdot \begin{pmatrix} 10\\1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3063.133646\\10106.31336\\2212.626729 \end{pmatrix}$$