Aloha :)
Zur Beschreibung der kreisörmigen Grundfläche wählen wir Polarkoordinaten:$$\vec r=\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;2]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Beim Übergang zu Polarkoordinaten wird das Flächenelement verzerrt. Die nötige Korrektur lautet:$$dx\,dy=r\,dr\,d\varphi$$Damit haben wir das gesuchte Volumen:
$$V=\iint\limits_{x^2+y^2\le4}z\,dx\,dy=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\,\int\limits_{r=0}^2\frac{1}{\sqrt{9-r^2\cos^2\varphi-r^2\sin^2\varphi}}\,r\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{V}=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\cdot\int\limits_{r=0}^2\frac{r}{\sqrt{9-r^2}}\,dr=\left[\varphi\right]_0^{2\pi}\cdot\left[-\sqrt{9-r^2}\right]_0^2=2\pi\left(-\sqrt5+\sqrt9\right)$$$$\phantom{V}=2\pi\left(3-\sqrt5\right)$$
