Extremalen Flächeninhalt eines Dreiecks

Question

Gegeben:

f(x)= -1/3x^3+x^2+3x und die Punkte O(0|0), P(u|f(u)) und Q(0|f(u) mit

0<u<4,85

Aufgabe:

Die drei Punkte sind die Eckpunkte eines Dreiecks OPQ. Berechnen Sie den Wert von u, für den der Flächeninhalt des Dreiecks OPQ extremal wird.

Problem/Ansatz:

Ich vermute, man muss bei dieser Aufgabe mit der Ableitung arbeiten.

Liebe Grüße und schonmal ein Dankeschön

Answer 1

Aloha :)

Den Flächeninhalt \(F\) des Dreiecks finden wir mit der Determinante:$$F(x)=\frac12\left|\begin{array}{r}x & f(x)\\0 & f(x)\end{array}\right|=\frac12xf(x)=-\frac{x^4}{6}+\frac{x^3}{2}+\frac{3}{2}x^2$$Mögliche Extremwerte sind die Nullstellen der ersten Ableitung:$$0\stackrel!=F'(x)=-\frac23x^3+\frac32x^2+3x=-\frac23x\left(x^2-\frac94x-\frac92\right)$$Die Nullstelle bei \(x=0\) ist sicher ein Minimum und interessiert nicht weiter (das Objekt ist ein Punkt). Interessant sind die Nullstellen der quadratischen Gleichung in der Klammer:

$$x_{1;2}=\frac98\pm\sqrt{\left(\frac98\right)^2+\frac92}=\frac98\pm\sqrt{\frac{81}{64}+\frac{288}{64}}=\frac98\pm\sqrt{\frac{369}{64}}=\frac98\pm\frac38\sqrt{41}$$Die negative Lösung fällt weg, da sie negativ ist, übrig belibt nur die positive Lösung:$$u=x_1=\frac{9+3\sqrt{41}}{8}\approx3,5262$$

Answer 2

Hallo

erstmal musst du die flachem bzw, die Fläche abhängig von u ausrechnen, bevor du etwas dann ableiten kannst.

entweder siehst du direkt wie man die Fläche ausrechnet, A=g*h/2 du kennst g und h, wenn du d und h nicht direkt siehst mach eine grobe Skizze der Funktion, die durch 0,0  geht, und etwa bei 4,85 wieder durch 0, dann siehst du direkt

g und h.

danndifferenzier A(u) und bestimme A'(u)=0

Gruß lul