Bestimmen Sie die Bestandsfunktion beim Algenwachstum

Question

Aufgabe:

Das Wachstum einer langblättrigen Algenart wird in der Zeit von 0 bis 30 Stunden Qäherungsweise beschrieben durch die Funktion \( f \) mit \( f(t)=10 t-\frac{1}{3} t^{2} . \) Dabei ist t Zeit in Stunden und \( f(t) \) die Wachstumsrate in Millimeter pro Stunde.

a) Zum Zeitpunkt 0 Stunden hat ein Algenblatt eine Länge von \( 7 \mathrm{~cm} \). Bestimmen Sie die Bestandsfunktion und die Länge des Algenblattes nach 30 Stunden.

b) Am Ende des Beobachtungszeitraums hat ein anderes Algenblatt eine Länge von \( 1,6 \mathrm{~m} \). Bestimmen Sie die zugehörige Bestandsfunktion und berechnen Sie die Länge des Blattes zu Beginn der Beobachtung.

c) Zur Zeit des schnellsten Wachstums hat ein drittes Algenblatt eine Länge von \( 1 \mathrm{~m} \). Bestimmen Sie die Bestandsfunktion und berechnen Sie die Länge zu Beginn und zum Ende der Beobachtungszeit.

Problem/Ansatz:

Ich brauche Hilfe bei den Aufgaben b und c.

Answer 1

f ( t ) = 10 * t - 1/3 * t^2
S ( t ) = 10 * t^2 / 2 - 1/9 * t^3
zwischen 0 und 30
10 * 30^2 / 2 - 1/9 * 30^3 = 1500 mm
150 cm
150 + 7 = 157 cm

 10 * 30^2 / 2 - 1/9 * 30^3 = 1500 mm = 150 cm
150 cm +  10 cm = 160 cm
Bestandsfunktion ???
B ( t ) = 10 * t^2 / 2 - 1/9 * t^3 + 10 cm

Answer 2

a) \( \int\limits_{}^{} \) (10t-\( \frac{t^2}{3} \))dt=5t²-\( \frac{t^2}{9} \)+c.

Wegen F(0)=7 ist c=7.

 5·30²-\( \frac{30^2}{9} \)+7 = 1507

Comments

Genau, ich habe es so gelöst.

Aber ich habe Schwierigkeiten in b) und c)

---

Warum veröffentlichst du a), wenn du b) und c) meinst?

---

Weil, a/b/c sind miteinander verbunden, du kannst b nicht lösen, bevor du a machst

---

Kleine Textveränderungen hätten genügt.

---

Genau, ich habe es so gelöst.

Das glaube ich dir nicht. Denn Roland hat vermutlich gerade deswegen einen kleinen Fehler eingebaut.

---

Interessiert mich nicht, ob du mich glaubst oder nicht

Answer 3

a) Zum Zeitpunkt 0 Stunden hat ein Algenblatt eine Länge von 7 cm. Bestimmen Sie die Bestandsfunktion und die Länge des Algenblattes nach 30 Stunden.

F1(t) = - 1/9·t^3 + 5·t^2 + 70
F1(30) = 1570 mm = 1.57 m

b) Am Ende des Beobachtungszeitraums hat ein anderes Algenblatt eine Länge von 1.6 m. Bestimmen Sie die zugehörige Bestandsfunktion und berechnen Sie die Länge des Blattes zu Beginn der Beobachtung.

F2(t) = - 1/9·t^3 + 5·t^2 + 100
F2(0) = 100 mm = 10 cm

c) Zur Zeit des schnellsten Wachstums hat ein drittes Algenblatt eine Länge von 1 m. Bestimmen Sie die Bestandsfunktion und berechnen Sie die Länge zu Beginn und zum Ende der Beobachtungszeit.

F3(t) = -1/9·t^3 + 5·t^2 + 250
F3(0) = 250 mm = 25 cm
F3(30) = 1750 mm = 1.75 m

Answer 4

\(F(t)= \displaystyle\int \left(10 t-\frac{t^{2}}{3}\right) d t=5 t^{2}-\frac{t^{3}}{9}+c \)

a)

c = 70 mm, F(30) = 1570 mm

b)

Löse das Gleichungssystem

\( 5 t^{2}-\frac{t^{3}}{9}+c=1600\)

\( t=30 \)

Die Anfangslänge beträgt c = 100 mm.

c)

Den Zeitpunkt des schnellsten Wachstums findet man mit

\( \frac{\partial}{\partial t}\left(10 t-\frac{1}{3} t^{2}\right)=0 \) als \( t = 15\).

Die Lösung des Gleichungssystems

\( 5 t^{2}-\frac{t^{3}}{9}+c=1000\)

\( t=15 \)

gibt für das dritte Algenblatt die Bestandsfunktion (Lànge)

\(F(t) = 5 t^{2}-\frac{t^{3}}{9}+250 \)

mit \(F(0) = 250 \, mm\) und \(F(30) = 1750 \, mm\) .