Sei X2 +px+q=0. Zeigen, oder widerlegen Sie Folgende Aussagen

Question

Aufgabe:

Sei X² +px+q=0 und alle Lösungen reelle Zahlen. Zeigen, oder widerlegen Sie Folgende Aussagen:

(1) Wenn die Lösungen ganze Zahlen sind, so sind auch p und q ganze Zahlen

(2) Wenn p,q ganze Zahlen, dann auch die Lösungen

(3) Wenn p negativ und q positiv, dann sind die Lösungen negative Zahlen

Problem/Ansatz:

Ich habe schon rumprobiert, aber finde keinen Ansatz, der mir etwas bringt. Könnte ihr mir weiterhelfen?

Comments

Schau dir mal den Satz von Vieta an: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Vieta

Answer 1

Hallo

Wenn du die Lösungen a,b hast kannst du umschreiben zu (x-a)*(x-b) und siehst direkt den Zusammenhang zwischen p,q und den Lösungen a,b

Gruß lul

Answer 2

(3) Wenn p negativ und q positiv, dann sind die Lösungen negative Zahlen

Hallo,

in der Lösungsformel steht zunächst -p/2.

Das ist positiv, da p negativ ist.

Dazu wird der Wurzelterm addiert bzw. subtrahiert.

Die Summe zweier positiver Terme ist ebenfalls positiv.

Also ist die Behauptung falsch.

Ob die Differenz positiv oder negativ ist, spielt hierbei keine Rolle.

Answer 3

Zu (2):

\(x^2+0\cdot x-2=0\), also \(p=0\), \(q=-2\) liefert zwar reelle Lösungen \(\pm\sqrt{2}\),
aber keine ganzzahligen.

Zu (3):

\(x^2-2x+1=(x-1)^2\), also ist die Aussage falsch.