lim x->2 (-2x3+8x2)/(x2-4x+4)

Question

Aufgabe:

lim x->2   (-2x^3+8x^2)/(x^2-4x+4)

x >2 und x<2

Problem/Ansatz:

Warum ist das Ergebnis für beiden -∞.

meine Ergebnis ist für beide 16 (∞)= +∞

Answer 1

Aloha :)

$$\frac{-2x^3+8x^2}{x^2-4x+4}=-\frac{2x^2(x-4)}{(x-2)^2}$$Der Zähler ist für \(x<4\) immer negativ. Der Nenner ist als Quadratzahl nie negativ. Wegen dem Minuszeichen vor dem Bruch, ist der Bruch also für \(x<4\) positiv. Der Grenzwert für \(x\to2\) ist also von beiden Seiten her \(+\infty\).

~plot~ (-2x^3+8x^2)/(x^2-4x+4) ; [[0|5|-10|200]] ~plot~

Comments

im Ergebnis steht -∞ und nicht +∞

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Das Soll-Ergebnis ist ja auch falsch... Dein Ergebnis ist richtig.

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Frage dazu, kann man in diesem Fall nicht auch l´Hospital anwenden ?

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Nein. Dann müsste der Ausdruck gegen "0/0" streben, aber der Zähler

macht da nicht mit!

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ah das habe ich übersehen, danke

Answer 2

Der Ausdruck ist gleich \(\frac{-2x^2(x-4)}{(x-2)^2}\).

Der Zähler ist in der Nähe von \(2\) positiiv und der Nenner ist als

Quadrat immer \(\geq 0\). Also ist der Limes \(=\infty\).

Überschneidung mit Tschakabumba :-)

Answer 3

f(x)=\( \frac{-2x^3+8x^2}{x^2-4x+4} \)=\( \frac{-2x^3+8x^2}{(x-2)^2} \)

Wenn du nun den Nenner =0 setzt, bekommst du als Lösung x=2

Bei x=2 existiert ein Pol.

x<2       f(1.9)=\( \frac{-2*(1,9)^3+8*(1,9)^2}{(1,9-2)^2} \)=1516,2

x>2      f(2,1)=\( \frac{-2*(2,1)^3+8*(2,1)^2}{(2,1-2)^2} \)=1675,8

Je mehr du dich der 2 näherst, siehst du, dass der Grenzwert von beiden Seiten her +∞ ist.