Berechnen von lim x -> +∞ von (4-4x)/(2x-1)

Question

Aufgabe:

f(x)= \( \frac{4-4x}{2x-1} \)

Problem/Ansatz:

Die Antwort soll sein, dass sich das ganze -2 nähert wenn x gegen plus unendlich geht. Doch wie kommt man darauf?

Answer 1

Klammere x im Zähler und Nenner aus und kürze das x :

\( \lim\limits_{x\to\infty} \)   ( x(4/x -4) ) / ( x(2-1/x) )

=\( \lim\limits_{x\to\infty} \)  (4/x -4) /(2-1/x)

= (0-4)/(2-0)=  -2

Comments

Sie meinen?

lim x → + ∞ = \( \frac{x( \frac{4}{x} -2)}{x (1- \frac{1}{x}) } \)  = \( \frac{-2}{1} \) = -2

Die 2 Brüche wurden vernachlässigt, weil der Nenner immer größer wird?

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Bei dir ist das erste Gleichheitszeichen am falschen Ort. Zudem fehlt der Zwischenschritt mit lim davor nach dem Kürzen. Grosserloewe hat das richtiger aufgeschrieben. Habe nun dort noch die gemeinten Klammern ergänzt.

Die 2 Brüche wurden vernachlässigt, weil der Nenner immer größer wird?

Nicht "vernachlässigt", sondern beim Grenzübergang werden beide zu Null.

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Also dann:

\( \frac{ \frac{4}{x} \ -4}{2- ( \frac{1}{x})} \)

Was passiert bitte nochmal mit den Brüchen? Soweit ich weiß, vernachlässigt sie man weil x (Nenner) gegen unendlich geht und somit der Bruch zu klein wird, oder?

Was heißt Grenzübergang? Entschuldigung, Deutsch ist Fremdsprache für mich :( . Wäre nett wenn du ne Erklärung für Dummies schreiben würdest

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Die beiden Brüche haben den Grenzwert 0. (Grenzübergang entspricht lim weglassen und an beiden Stellen 0 einsetzen.

Schreibe exakt ab, was Grosserloewe geschrieben hat:

= lim_(x->unendlich)  (4/x -4) /(2-1/x)

=  (0-4)/(2-0)

=  -2

Solltest du die Definition des Grenzwerts mit Epsilon üben müssen, genügt das selbstverständlich nicht. Das muss dann aber auch in der Fragestellung exakt angegeben sein. An einer MIttelschule (Grundlagenfach) werden die Epsilon meist nicht verlangt.

Answer 2

f = ( 4 - 4x ) / ( 2x - 1 )
x ausklammern
f ( x ) = [x * ( 4/x - 4) ] / [x *( 2 - 1/x )]
x kürzen
f ( x ) = ( 4/x - 4)  / ( 2 - 1/x )
limes x -> ∞ ist für [ 4/x ] = 4/∞ = 0
limes x -> ∞ [ ( 0 - 4)  / ( 2 - 0 ) = -4 / 2 = -2

Alternativ kannst du auch argumentieren :
wenn x gegen ∞ geht dann  geht ( 4 - 4x )  gegen  4x
die 4 spielt bei keine Rolle mehr

f ( x ) = ( 4 - 4x ) / ( 2x - 1 )
limes x -> ∞  wird zu ( -4x ) / ( 2x )
x ausklammern, x kürzen usw.