Gegeben: Zwei Tangenten im Raum, mit je einem Punkt. Gesucht zwei Kreise, die sich beruehren.

Question

Gegeben: Zwei Tangenten und zwei Punkte

Gesucht (zeichnerische Lösung): Zwei sich beruehrende Kreise durch die gegebenen Punkte:

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Comments

Die zwei Kreise sind nicht eindeutig bestimmt.

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ok, gegeben:

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gesucht: beruehrkreis durch P1 mit tangente t1

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Hallo,

Die zwei Kreise sind nicht eindeutig bestimmt.

das sehe ich auch so.

ok, gegeben: ... (ein Kreis an \(t_2\)) ... gesucht: beruehrkreis durch P1 mit tangente t1

dann gibt es im Allgemeinen gar keine Lösung, da mit dem Kreis auch die gemeinsamen Tangente der beiden Kreise im Berührpunkt fest gelegt ist. Diese wiederum muss eine bestimmte Bedingungen erfüllen, damit eine Lösung existiert.

Wenn man nur die Ebene festlegt, in der sich einer der beiden Kreise befindet, dann führt das i.A. zu einer eindeutigen Lösung (genauer: es sind wohl immer zwei Lösungen).

Zwei Tangenten im Raum, mit je einem Punkt, ... Gesucht (zeichnerische Loesung)

auf neudeutsch würde man das 'Herausforderung' nennen! Ich halte das für möglich, aber was steckt dahinter? Kannst Du uns mehr zum Hintergrund der Aufgabe sagen!

Anbei eine zeichnerische Lösung in der Ebene.

https://jsfiddle.net/WernerSalomon/hrLc80w9/10/

Die blauen Geraden sind die Tangenten \(t_{1,2}\), mit den Punkten \(P_{1,2}\). Die Aufgabe besteht im Wesentlichen darin, die gemeinsame Tangente (grün) der Kreise zu bestimmen. Diese schneidet \(t_1\) in \(S_1\) und \(t_2\) in \(S_2\). Es gilt:$$|P_1S_1| + |P_2S_2| = |S_1S_2|$$Durch die Wahl des Punktes \(S_1\) wird quasi die Ebene festgelegt, in der sich der Kreis an \(P_2\) befindet. Aus der obigen Bedingung wird dann der Punkt \(Q\) und anschließend der Punkt \(S_2\) konstruiert. Die Gerade \(M_2S_2\) ist die Mittelsenkrechte der Strecke \(S_1Q\). Und da \(Q\) so gewählt wurde, dass \(|P_1S_1|=|P_2Q|\) gilt, ist obige Bedingung erfüllt.

eine Frage zum Schluß: Wie sind die Geraden gegeben? Wenn es 'zeichnerisch' gelöst werden soll, sind die auch 'zeichnerisch' gegeben?

Gruß Werner

PS.: oben im Cindy-Applet kannst Du mit der Maus einige der Punkte verschieben und die blauen Geraden verändert. Versuch's mal ;-)

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Vielen Dank fuer diese Hinweise!

Zum Hintergrund:

Ich bin eigentlich Architekt und kuemmere mich um Gebaeudegeometrien. Ich dachte das Problem waere einfach loesbar, aber ich finde keine "triviale" Lösung.

Es geht um eine Gebauedefassade, die nach innen schwingt und eine Loggia bildet.

Die Geraden sind einerseits die Aussenfassade (t2) und andererseits die Loggiafassade (t1). Die Punkte auf den Geraden sind gegeben, da die Verglasungsbreiten ganzzahlige Werte bilden. (Ich komme sozusagen von beiden Seiten bei P1 bzw P2 mit meiner Fassade an)

Die unten skizzierte gelbe Linie, bestehend aus Gerade-Kreisbogen-Kreisbogen-Gerade (ich eintschuldige mich fuer nicht-mathematische Ausdrucksweise) ist mein angestrebtes Ergebnis.

Ja, t1 und t2 sowie P1 und P2 sind zeichnerisch gegeben.

Ich bekomme es hin, wenn ich mich von einer Seite vorarbeite, aber ich muss immer P1 bzw. P2 auf der Tangente verschieben, je nachdem an welcher Seite ich anfange und welchen Radius ich waehle.

Also wenn t1, t2, P1 und P2 gegeben sind, gibt es dann genau eine Lösung mit zwei Kreisen, die einen identischen Durchmesser haben? (Ansonsten gibt es ja unendlich viele Lösungen, wenn ich den Beruehrpunkt B im Applet verschiebe...)

Gruß,

Olaf

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Sorry, meine Aussage "Ich bekomme es hin, wenn ich mich von einer Seite vorarbeite, aber ich muss immer P1 bzw. P2 auf der Tangente verschieben, je nachdem an welcher Seite ich anfange und welchen Radius ich waehle." ist nicht korrekt. Bitte ignorieren.

Die obige, sehr ausfuehrliche Antwort von Werner (Nochmals vielen Dank, Werner!) muss ich jetzt erstmal verdauen und stelle weitere Fragen danach.

Gruss,

Olaf

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Hallo Olaf,

Du schreibst:

Es geht um eine Gebauedefassade, die nach innen schwingt und eine Loggia bildet.
Die Geraden sind einerseits die Aussenfassade (t2) und andererseits die Loggiafassade (t1). Die Punkte auf den Geraden sind gegeben, da die Verglasungsbreiten ganzzahlige Werte bilden. (Ich komme sozusagen von beiden Seiten bei P1 bzw P2 mit meiner Fassade an)

ich habe noch Schwierigkeiten, das zu verstehen!

Haben \(t_1\) und \(t_2\) einen Schnittpunkt im Raum? Bzw. 'fast' einen Schnittpunkt?

Steht \(t_2\) senkrecht?

Wenn der 'Loggia-Teil' noch nicht schwingt, bzw. nicht eingeschwungen ist, wie liegen dann \(t_1\) und \(t_2\) sowie \(P_1\) und \(P_2\)?

Gibt es eine Stellung des schwingenden Teils, bei dem \(P_1\) und \(P_2\) zusammen fallen? Oder anderweitig eine definierte Lage zueinadner haben?

Wo befindet sich die Drehachse des schwingenden Teils?

Müssen die Kreise womöglich sogar gleich groß sein?

t1 und t2 sowie P1 und P2 sind zeichnerisch gegeben.

wenn \(t_1\) und \(t_2\) keinen Schnittpunkt haben, also windschief sind, dann liegen die Kreise in unterschiedlichen nicht zueinander parallelen Ebenen. D.h. dass mindestens einer der Kreise in einer Zeichnung als Ellipse erscheint - zumindest bei einer Parallelperspektive.

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... schwingt - also bewegt sich da überhaupt irgendwas oder suchst Du nur eine Kurve bestehend aus zwei Kreisbögen, die von \(P_1\) nach \(P_2\) verläuft und den Übergang von der Loggia zur Fassade realisiert?

Wenn dem so ist, dann würde ich eher Bezier-Kurven oder NURBS hernehmen, und keine Kreisbögen.

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Hallo Werner,

t1 und t2 liegen in einer Ebene und, genau: ich suche

nur eine Kurve bestehend aus zwei Kreisbögen, die von \(P_1\) nach \(P_2\) verläuft und den Übergang von der Loggia zur Fassade realisiert

Mit einer Bezier-Kurve geht das natuerlich, aber ich moechte fuer die Glasherstellung eine Lösung mit Kreisboegen, da dies fuer die Fassadenbauer am einfachsten ist und ich die Kurve mit zwei Radien beschreiben kann.

(Es schwingt also nichts so richtig, ausser die Loggiafassade beschreibt einen Kurvenverlauf)

Ich versuche die Sachlage einmal in Deinem Applet darzustellen und "poste" das dann hier.

Answer 1

Hallo Olaf,

ich denke, jetzt sind genug Information beisammen für eine Antwort.

Die Aufgabe besteht also darin, zwei Halbgeraden \(t_{1,2}\) (in der Ebene!) deren Endpunkte mit \(P_1\) und \(P_2\) bezeichnet sind, derart mit zwei Kreisbögen zu verbinden, dass die Kreisbögen knickfrei in die Strecken und in einander übergehen.

https://jsfiddle.net/WernerSalomon/hrLc80w9/12/

Oben siehst Du die Skizze (Punkt \(S_2\) lässt sich verschieben) mit den beiden Enden \(P_{1,2}\) (gelb) der Halbgeraden \(t_{1,2}\) (blau). Wähle einen Punkt \(S_2\) auf der Verlängerung von \(t_2\). Trage dann die Länge \(|P_2S_2|\) auf \(t_1\) ab, so dass \(|QP_1| = |P_2S_2|\) ist. Der Punkt \(Q\) muss sich dazu hinter \(P_1\) auf der Halbgeraden \(t_1\) befinden (in der Skizze unterhalb von \(P_1\)).

Konstruiere anschließend die Mittelsenkrechte (schwarz) über der Strecke \(QS_2\). Die Mittelsenkrechte schneidet \(t_1\) - bzw. deren Verlängerung - in \(S_1\). Die Gerade (grün) durch \(S_1S_2\) ist die gemeinsame Tangente \(t_3\) der Kreise. Ein Kreis um \(S_2\) mit Radius \(|P_2S_2|\) schneidet \(t_3\) zwischen \(S_1\) und \(S_2\) im gemeinsamen Berührpunkt \(B\).

Die Senkrechte zu \(t_3\) durch \(B\) schneidet die Senkrechte zu \(t_1\) durch \(P_1\) in \(M_1\) und die Senkrechte zu \(t_2\) in \(P_2\) in \(M_2\). \(M_{1,2}\) sind die Mittelpunkte der gesuchten Kreisbögen (rot).

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Hallo Werner, ich habe festgestellt, dass ich noch eine weitere Bedingung erfuellen moechte:

Die Aufgabe besteht nunmehr darin, zwei Halbgeraden \(t_{1,2}\) (in der Ebene!) deren Endpunkte mit \(P_1\) und \(P_2\) bezeichnet sind, derart mit zwei Kreisbögen zu verbinden, dass die Kreisbögen knickfrei in die Strecken und in einander übergehen und der Punkt des Richtungswechsels bzw. der Beruehrpunkt B der dazugehoerigen Kreise im Mittelpunkt der Strecke P1P2 zu liegen kommt.

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... und der Punkt des Richtungswechsels bzw. der Beruehrpunkt B der dazugehoerigen Kreise im Mittelpunkt der Strecke P1P2 zu liegen kommt.

das ist nicht möglich! \(B\) liegt selbst selbst auf einem Kreisbogen, der durch \(P_1\) und \(P_2\) verläuft. Und der Mittelpunkt von \(P_1\) und \(P_2\) liegt auf der Sehne dieses Kreisbogens und damit i.A. außerhalb! (ausgenommen der Sonderfall \(t_1=t_2\))
Alternativ könnte man \(B\) aber so legen, dass \(|P_1B| = |BP_2|\) gilt. Das wäre möglich.
Ich hätte eher erwartet, dass die Radien der beiden Kreise identisch sein sollen ...

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\(|P_1B| = |BP_2|\) wuerde meine Absichten erfuellen. Wie stelle ich das denn an?

(Die beiden Kreisboegen werden zu gebogenen Verglasungselementen und werden durch einen Pfosten getrennt. Wenn die Radien gleich sind, erhalte ich einen kleinen und einen großen Bogen. Es ist wichtiger, dass ich den Pfosten nach der Vorgabe \(|P_1B| = |BP_2|\) zwischen P1 und P2 positionieren kann. Gleiche Radien waeren auch sehr gut, aber der Unterschied im Biegeradius ist in diesem Fall akzeptabel.)

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\(|P_1B| = |BP_2|\) wuerde meine Absichten erfuellen. Wie stelle ich das denn an?

Konstruiere die Mittelsenkrechte \(m\) (schwarz) über der Strecke \(P_1P_2\). Diese schneidet die Winkelhalbierende (gelb) der (Halb-)Geraden \(t_1\) und \(t_2\) im Punkt \(G\). Der Kreis (rot) um \(G\) mit Radius \(|GP_1|\) liefert die möglichen Positionen von \(B\). Der Schnittpunkt dieses Kreises mit \(m\) liefert Dir das gewünschte \(B\).

Die Mittelsenkrechte der Strecke \(BP_2\) schneidet die Verlängerung von \(t_2\) in \(S_2\). Die Gerade (grün) durch \(B\) und \(S_2\) ist die gemeinsame Tangente. Der Rest ist wie gehabt. Die Orthogonalen durch \(P_{1,2}\) und \(B\) liefern Dir die Mittelpunkte \(M_1\) und \(M_2\)

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Eine robuste Loesung.