Aufgabe:
Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass das Produkt für k=1 bis n-1(1+1/k)^k = n^n/n! für alle n∈N mit n ≥ 2 gilt.
Problem/Ansatz:
Der Induktionsanfang ist mir klar:
Für n=2 gilt k=1 bis 1 ( 1+1/k)^k = 2 = 2^2/2! stimmt.
Induktionsschritt: zu Zeigen, das Produkt k=1 bis n (+1/k)^k) = (n+1)^n+1/(n+1)!
Der nächste Schritt einer Lösung ist mir allerdings nicht klar.
Er lautet:
Das Produkt für k = 1 bis n(1+1/k)^k =(Produkt k=1 bis n-1(1+1/k)^k)(1+1/n)^n
=n^n/n!(1+1/n)^n nach Induktionsannahme.
Es gibt hier noch weitere Umformungen. Aber für mich ist wichtig das bereits geschilderte erstmal zu verstehen.
