Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Es gibt eigentlich zwei gängige Methoden.
1) Du formst den Zähler etwas um, sodass du \((x^2-2)\) ausklammern kannst. Das funktioniert hier mit der Addition einer "nahrhaften Null":$$\phantom{=}\frac{2x^4+x^3+3x^2-2x-14}{x^2-2}$$$$=\frac{2x^4\,\overbrace{-4x^2+4x^2}^{=0}+x^3+3x^2-2x-14}{x^2-2}$$$$=\frac{2x^4-4x^2+x^3-2x+7x^2-14}{x^2-2}$$$$=\frac{2x^2(x^2-2)+x(x^2-2)+7(x^2-2)}{x^2-2}$$$$=\frac{(2x^2+x+7)(x^2-2)}{x^2-2}$$$$=2x^2+x+7$$
2) Du führst tatsächlich eine Polynomdivision durch.$$(2x^4+x^3+3x^2-2x-14)\colon(x^2-2)=$$Du divdierst die vordersten Summanden. \(2x^4\colon x^2=2x^2\). Das Ergebnis schreibst du rechts neben das Gleichheitszeichen. Dann multiplizierst du den Divisor \((x^2-2)\) mit dem Ergebnis \(2x^2\) und schreibst das Ergebnis \((2x^4-4x^2)\) unter den Dividenden:$$(2x^4+x^3+3x^2-2x-14)\colon(x^2-2)=\boxed{2x^2}$$$$\;\,2x^4\quad\quad\,-4x^2$$Jetzt subtrahierst du das, was du gerade darunter geschrieben hast, und wiederholst den Vorgang:$$(x^3+7x^2-2x-14)\colon(x^2-2)=\boxed{x}$$$$\;\,x^3\quad\quad\;\;-2x$$Und noch ein Schritt:$$(7x^2-14)\colon(x^2-2)=\boxed{7}$$Damit bist du fertig:$$(2x^4+x^3+3x^2-2x-14)\colon(x^2-2)=2x^2+x+7$$
