Ungleichung Äquivalenz Induktion

Question

Aufgabe:

Seien \(k\in\mathbb{N}\) und \(a,b\in\mathbb{R}\) mit \(a\gt 0\) und \(b\gt 0\). Zeige mittels Induktion:

$$  a\lt b \Longleftrightarrow a^{k}\lt b^{k} $$

\(\)
Problem:

Nun muss man für eine Äquivalenz beide Seiten beweisen. Also Hin- und Rückrichtung. Irgendwie weiß ich nu gar nicht wie ich da vorgehen soll..

Answer 1

Für k=1 ist die Beh. ja wohl klar.

Gelte sie nun für ein k ∈ℕ, also es gilt #

$$  a\lt b \Longleftrightarrow a^{k}\lt b^{k}     $$

Dann musst du zeigen, dass dann auch gilt

$$  a\lt b \Longleftrightarrow a^{k+1}\lt b^{k+1} $$

Geht wohl so : Eine Richtung:

Sei a<b

Dann folgt wegen # also

a^k < b^k

Da a>0 also durch Multiplikation mit a auch

a^(k+1) < a*b^k .

Wegen a<b und b^k > 0 folgt auch

             a*b^k < b^(k+1) .

Die letzten beiden Ungleichungen ergeben

wegen der Transitivität von < also

a^(k+1) < b^(k+1).

Rückrichtung: Sei a^(k+1) < b^(k+1)    # dann muss daraus

a <b hergeleitet werden.

Da a und b beide positiv sind, sind die Potenzen das auch und

du bekommst   a^(k+1) /  b^(k+1) < 1

<=>    (a/b)^(k+1)  < 1

Potenz einer positiven Zahl ist kleiner als 1 aber

nur wenn die Zahl selber ( hier also a/b ) kleiner 1 ist,

also a < b.

Comments

Ach man so logisch. Ich bin bei dem Schritt "Wegen a<b und bk > 0 folgt auch a*bk < b^(k+1) ." hängen geblieben. Jetzt wo man die Abschätzung sieht ist es logisch, mir war die aber einfach nicht im Kopf. Obwohl man sich hätte denken können, dass man ja auf sowas hinaus muss, damit man die Transitivität benutzen kann. Fiel mir irgendwie sehr schwer..

Danke dir!

Answer 2

Eine etwas ausgefallenere Methode:

ich beweise per vollst. Induktion,

dass \(b^k-a^k=(b-a)\cdot c\quad(*) \)

mit \(c\gt 0\) ist, wenn \(a,b\gt 0\).

Der Induktionsanfang \(k=1\) ist trivial.

IV: Es sei \(b^k-a^k=(b-a)\cdot c\) mit \(c\gt 0\) .

IS: \(b^{k+1}-a^{k+1}=(b-a)b^k+a(b^k-a^k)=\)

\(=(b-a)b^k+a(b-a)c\)  (nach IV.)

\(=(b-a)(b^k+ac)\). Wegen \(a,b,c\gt 0\) folgt \(c':=b^k+ac>0\),

also \(b^{k+1}-a^{k+1}=(b-a)c'\) mit \(c'\gt 0\).

Aus \((*)\) folgt (wegen der Vorzeichenregeln ;-) ):

\(b^k-a^k\gt 0 \iff b-a \gt 0\).