Aufgabe:
Zeigen Sie, dass die Normen \( \|\cdot\|_{\infty},\|\cdot\|_{1} \) und \( \|\cdot\|_{2} \) auf \( \mathbb{R}^{n} \) äquivalent sind. Beweisen Sie dazu folgende Ungleichungen für alle \( x \in \mathbb{R}^{n} \) :
(a) \( \|x\|_{\infty} \leq\|x\|_{1} \leq n \cdot\|x\|_{\infty} \).
Problem/Ansatz:
Diese Aufgabe hat mehrere ähnliche Teilaufgaben, jedoch verstehe ich nicht, wie man hier vorgehen soll. Mir ist klar, dass zum Beispiel |xi| kleiner gleich max |xi| ist und damit auch der hintere Teil der Ungleichung gilt, aber das ist ja kein Beweis(?). KAnn mir jemand einen Tipp geben, wie man generell diese Aufgabe lösen kann?
Vielen Dank und LG :-)