Ich hab's mal über das Kreuzprodukt angesetzt. Der Betrag des Kreuzproduktes zweier Vektoren entspricht ja dem Flächeninhalt des Parallelogramms, welches durch diese aufgespannt wird. Da ein Dreieck ein "halbes" Parallelogramm ist, muss also der halbe Betrag des Kreuzprodukts aus den Vektoren RP und RQ gleich dem Flächeninhalt A des Dreiecks PQR sein.
(Um Vektoren mit drei Komponenten zu erhalten, ergänze ich alle Vektoren um eine dritte Komponente mit dem Wert 0)
Also:
$$\frac { \left| \vec { RP } \times \vec { RQ } \right| }{ 2 } =A(PQR)$$$$\Leftrightarrow \left| \vec { RP } \times \vec { RQ } \right| =2*A(PQR)$$$$\Leftrightarrow \left| (P-R)\times (Q-R) \right| =2*A(PQR)$$$$\Leftrightarrow \left| (\begin{pmatrix} -2 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix})\times (\begin{pmatrix} x \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix}) \right| =2*A(PQR)$$$$\Leftrightarrow \left| \begin{pmatrix} -2 \\ -17 \\ 0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} x \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix} \right| =2*A(PQR)$$$$\Leftrightarrow \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 10+17x \end{pmatrix} \right| =2*A(PQR)$$$$\Leftrightarrow \sqrt { { 0 }^{ 2 }+{ 0 }^{ 2 }+{ (10+17x) }^{ 2 } } =2*A(PQR)$$$$\Leftrightarrow \sqrt { { 100 }+34{ 0x }+{ 289x }^{ 2 } } =2*A(PQR)$$$$\Leftrightarrow { 100 }+34{ 0x }+{ 289x }^{ 2 }=4*{ (A(PQR)) }^{ 2 }$$
Setzt man hier nun für \(A(PQR)\) die in der Aufgabenstellung genannten Flächeninhalte ein und löst die quadratische Gleichung, so erhält man für$$A(PQR)=56:$$$${ x }_{ 1 }=-\frac { 122 }{ 17 } \approx { -7,18 }$$$${ x }_{ 2 }=6$$für$$A(PQR)=83:$$$${ x }_{ 1 }=-\frac { 176 }{ 17 } \approx { -10,35 }$$$${ x }_{ 2 }=\frac { 156 }{ 17 } \approx { 9,18 }$$und für$$A(PQR)=102,8:$$$${ x }_{ 1 }=-\frac { 1078 }{ 85 } \approx { -12,68 }$$$${ x }_{ 2 }=\frac { 978 }{ 85 } \approx { 11,51 }$$
