Differentialgleichung 2 Ordnung (inhomogen)

Question

Aufgabe:

y''+y=sin(2x)         y(0)=1    y'(0)=0

Problem/Ansatz:

yh= λ^2+1=0

->λ=\( \sqrt{-1} \)=i

->e^x*(a*sin(i*x))+(b*cos(i*x))=yh

yp=2*sin(2x)=A*sin(2x)

y'p=A*cos(2x)

y''p=A*-sin(2x)

in funktion einsetzten;

A*-sin(2x)+A*sin(2x)=2*sin(2x)

->-A+A=2

also wie man sieht verstehe ich die Lösung dieser aufgabe nicht ganz, vielleicht kann mir da jemand helfen?

Answer 1

Hallo,

λ^2+1=0

λ^2 = -1

λ1,2 =± i

yh= C₁ cos(x) +C₂ sin(x)

yp= A cos(2x) +B sin(2x)

yp'= -2A sin(2x) +2B cos(2x)

yp'' = -4A cos(2x) -4B sin(2x)

------>yp und yp'' in die DGL einsetzen:

y''+y=sin(2x)

-4A cos(2x) -4B sin(2x)+ A cos(2x) +B sin(2x) =sin(2x)

-3A cos(2x) -3B sin(2x) =sin(2x)

----->Koeffizientenvergleich:

cos(2x) -3A= 0 ->A=0

sin(2x): -3B=1 -->B= -1/3

-------->

yp= A cos(2x) +B sin(2x)

yp= -1/3 sin(2x)

------>

y=yh+yp =C₁ cos(x) +C₂ sin(x) -1/3 sin(2x)

dann noch die AWB in die Lösung einsetzen:

1) y=C1 cos(x) +C2 sin(x) -1/3 sin(2x)

2) y'= -C1 sin(x) +C2 cos(x) -(2/3) cos(2x)

-----------------------------------------------------

1)  y(0)=1 : C₁=1

2) y'(0)=0 : C₂=2/3

Endergebnis:

\( y(x)=\cos (x)+\frac{2 \sin (x)}{3}-\frac{1}{3} \sin (2 x) \)