Alle Lösungen der Komplexen Zahl Z^4-81=0

Question

Aufgabe:

Z^4-81=0

Gebe alle Lösungen in der trigonomischen From an, Die Werte müssen nicht berechnet werden.

Problem/Ansatz:

Ich habe folgenden Ansatz:

r=\( \sqrt[4]{0+81} \)=3

da x >0 und y nicht gegeben liegt der 4 Quadrant vor mit Winkel 360°/0° =2pi

jetzt habe ich tatsächlich 2 Lösungsansetzte, befürchte aber, dass beide falsch sind (ich schreibe erstmal einen auf):

360°:4=90°=φ1

90°+\( \frac{1}{4} \)*360°=180°=φ2

90°+\( \frac{2}{4} \)*360°=270°=φ3

90°+\( \frac{3}{4} \)*360°=360°=φ4

In die richtige Form bringen:

Z1=3*(cos(90°)+i*sin(90°))

Z2=3*(cos(180°)+i*sin(180°))

Z3=3*(cos(270°)+i*sin(270°))

Z4=3*(cos(360°oder 0°)+i*sin(360° oder 0°))

Ich habe jetzt alle φ als grad aufgeschrieben, könnte das sicherlich auch noch als bogenmaß aufschreiben.

Answer 1

Aloha :)$$z^4=81\implies z^2=\pm\sqrt{81}=\left\{\begin{array}{l}+9\\-9\end{array}\right.\implies z=\left\{\begin{array}{ll}\pm\sqrt9&=\left\{\begin{array}{c}+3\\-3\end{array}\right.\\[3ex]\pm\sqrt{9i^2}&=\left\{\begin{array}{c}+3i\\-3i\end{array}\right.\end{array}\right.$$Das kannst du auch in Polarkoordinaten angeben:$$3=3e^{i\cdot0}\quad;\quad-3=3e^{i\pi}\quad;\quad3i=3e^{i\frac\pi2}\quad;\quad-3i=3e^{i\frac{3\pi}2}$$

Comments

das heißt meine lösung ist zwar richtig aber die lösungen mit r=-3 sind auch noch zusätzlich richtig ?

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Genau du suchst ja alle komplexen Lösungen. Und da gibt es bei z^4 = 81 genau 4 Stück.

Answer 2

Berechnung falls keine Vorgaben beachtet werden müssen:

z^4-81=0

(z^2+9)*(z^2-9)=0

1.) z^2+9=0

z^2=-9=9i^2|\( \sqrt{} \)

z₁=3i

z₂=-3i

2.) z^2-9=0 

z₃=3

z₄=-3

Answer 3

Z4=3*(cos(360°oder 0°)+i*sin(360° oder 0°))

Warum hast du die Möglichkeiten -360° und 720° nicht aufgeführt? Und warum nicht alle anderen unendlich vielen Möglichkeiten?

könnte das sicherlich auch noch als bogenmaß aufschreiben.

Nein, nicht "auch noch", sondern "ausschließlich".