Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung: (z^4/4)+2 = -2 sqrt(3)*i in algebraischer Form

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung: (z^4/4)+2 = -2 sqrt(3)*i      in algebraischer Form

Problem/Ansatz:

Folgende Gleichung ist gegeben:

Text erkannt:

\( \frac{z^{4}}{4}+2=-2 \sqrt{3} \cdot i \)

Ich kriege schon Probleme beim Umstellen, da ich am Ende immer auf ein ziemlich komisches Ergebnis komme, was mir nicht sinnlich erscheint, da bei uns in der Klausur kein Taschenrechner benutzt werden darf.

z^4/4 + 2 = -2 sqrt(3)*i             | -2 |*4 |4^sqrt

z = (4^sqrt-16 ) (8^sqrt (3) *i)

Würde mich über Anmerkungen über Denkfehler von mir oder potenzielle Rechenwege freuen

Answer 1

Hallo,

z⁴/4 + 2 = - 2·√3 · i

⇔   z⁴ = - 8 - 8·√3 · i  =  a + b·i              [ a = - 8  ;  b = - 8·√3 ]

Lösung der komplexen Gleichung z⁴ =  a + b·i

Den Betrag | a + b·i | = r und das Argument φ  kann man aus folgenden Formeln berechnen:
$$ r = \sqrt{a^2 +b^2}\text{ } \text{ } und \text{ } \text{ } φ = arccos\left(\frac { a }{ r }\right) \text{ }\text{ } wenn \text{ }\text{ }b≥0$$$$ \text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ }\text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ }  \text{ }\text{ }\text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ }- arccos\left(\frac { a }{ r }\right)\text{ }wenn \text{ }\text{ }b<0  .$$Ergibt sich φ negativ, kannst du einfach 2π addieren.

Die 4 Lösungen \(z_k\)  erhält man mit der Indizierung k = 0,1, ... , 3
aus der Formel $$ z_k =  \sqrt[4]{r}· \left[ \text{ }cos\left( \frac { φ + k · 2π }{ 4 } \right)+ i · sin\left( \frac { φ + k · 2π }{ 4 }\right) \right] $$

Kontrolllösungen:  (Die Reihenfolge kann vom Rechner vertauscht sein)

z₀ = - √3 + i  ;   z₁ = √3 - i   ;   z₂ = -1 - √3·i   ;   z₃ = 1 + √3·i

Gruß Wolfgang

Comments

Ich danke dir, für deine schnelle Antwort

Die Schritte danach sind mir soweit klar, jedoch komm ich nicht drauf, wie man auf z^4 = -8 + 8 \( \sqrt{3} \) kommt

Und muss man für den Betrag nicht erst die Wurzel von z^4 ziehen?

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z⁴/4 + 2  =  - 2·√3 · i    | -2

z⁴/4  =  - 2  - 2·√3 · i   | • 4

z⁴ =  - 8  - 8·√3 · i

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Und muss man für den Betrag nicht erst die Wurzel von z⁴ ziehen?

nein, du bestimmst den Betrag von  a + b·i =  - 8 - 8·√3 · i

| - 8 - 8·√3 · i | =  √( (-8)² + (-8√3)² )  = √( 64 + 64·3 )  = √(4·64) = 16