Hallo Lapplöffel, $$\frac 1i = -i$$ was auch irgendwie logisch ist, wenn man eine gewisse Vorstellung von komplexen Zahlen hat. Hat man die nicht, geht das formal so:$$\frac 1i = \frac 1{0 + 1i} = \frac{0-1i}{(0+1i)(0-1i)} = \frac{-i}{0^2 - i^2} = \frac {-i}{-(-1)} = -i$$Folglich suchen wir ein \(z\) mit $$z^3 = -i$$Nun ist \(i=e^{i\pi/2}\) und somit$$-i = -e^{i\pi/2} = -1 \cdot e^{i\pi/2} = e^{i\pi}\cdot e^{i\pi/2} = e^{3i\pi/2}$$was auch auf der Hand liegt; stelle Dir doch mal \(-i\) in der Gaußschen Zahlenebene vor. Und daraus folgt$$z^3 = e^{3i\pi/2} \implies z = e^{i\pi/2} = i$$bzw. vollständig$$z_{1,2,3}= e^{\left(\frac 32 i\pi + k\cdot 2i\pi\right)/3}, \quad k=\{0,1,2\}\\\implies z_1 = i, \quad z_2 = e^{\frac76 i\pi}, \quad z_3 = e^{\frac{11}6 i\pi}$$.. frage bitte nach, was Du nicht verstehst, bevor ich jetzt hier irgendwas erkläre, was Du sowieso weißt ;-)
Nachtrag:
zum Verständnis habe ich Dir ein CindyJS-Applet gebastelt, was hoffentlich zum Verständnis beiträgt
https://jsfiddle.net/WernerSalomon/5soakfq2/25/
Die Zahl \(z\) befindet sich hier auf dem Einheitskreis. Multipliziert man \(z\) zweimal mit sich selbst, so landet man bei \(z^3\). Der Betrag - also der Abstand von \(Z\) zum Ursprung \(O\) - bleibt dabei konstant bei \(|z|=1\). D.h. auch \(z^3\) liegt auf dem Einheitskreis. Der Winkel den \(OZ\) zur reellen Achse einnimmt, wird dabei verdreifacht.
Nun bewege den Punkt \(Z\) auf dem Kreis und beobachte wo \(Z\) sich befindet, wenn \(z^3\) bei \(-i\) (der grüne Punkt) landet.
Gruß Werner
