Zeigen Sie det() = -(Produkt a_i) * (Summe 1/a_i)

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie für alle \( n \in \mathbb{N} \) mit \( n>0 \) und \( a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \) gilt:
$$ \operatorname{det}\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & a_{1} & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & 0 & a_{2} & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & a_{n} \end{array}\right)=-\left(\prod \limits_{i=1}^{n} a_{i}\right) \cdot\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{1}{a_{i}}\right) $$

Problem/Ansatz:

Bei dieser Aufgabe fehlt mir jeglicher Ansatz. Hoffe jemand von euch kann mir weiterhelfen.

Comments

Bring die Matrix einfach durch elementare Zeilen-/Spaltenumformung auf Dreiecksgestalt.

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Version 18.Juli 2021:

Titel: Zeigen Sie für alle n ∈ N mit n > 0 und a1, . . . , an ∈ R\{0} gilt:

Stichworte: matrix,algebra,beweise,determinante,summe

Zeigen Sie für alle \( n \in \mathbb{N} \) mit \( n>0 \) und \( a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \) gilt:

$$ \operatorname{det}\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & a_{1} & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & 0 & a_{2} & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & a_{n} \end{array}\right)=-\left(\prod \limits_{i=1}^{n} a_{i}\right) \cdot\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{1}{a_{i}}\right) $$

Answer 1

Ich vermute, dass du es mit vollständiger Induktion beweisen sollst.

IndAnf.

n=1

Linke Seite: det=-1

Rechte Seite: -1* 1/1 =-1 ✓

n=2

Linke Seite: det=-a1-a2

Rechte Seite:

 -(a1*a2)*(1/a1 + 1/a2)= -a2 -a1 ✓

...

:-)

Comments

Dazu wie ich es zeigen sollen steht hier nichts.

Wie würde denn hier der Induktionsschritt aussehen?

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Für n+1 nach der letzten Zeile entwickeln.

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ich tu mich beim Induktionsschritt leider echt schwer. Könntest du mir vielleicht zeigen wie genau der aussieht damit ich das dann nachvollziehen kann?

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Ich habe es auch noch nicht gerechnet.

Ich würde so vorgehen:

Berechne die Determinante für n=3 und guck, wie sie mit der Det. für n=2 zusammenhängt.

:-)

Answer 2

Hallo,

ich würde so vorgehen:

zunächst aus den Spalten 2 bis n+1 den Faktor a_i vorziehen. Nun hat man$$a_1\cdots a_n\cdot\det(B)$$
Die erste Zeile von B lautet jetzt$$ 0,1/a_1,\cdots,1/a_n$$
Nun subtrahiere die Spalten 2 bis n+1 von der ersten Spalte.

Jetzt solltest du eine zauberhafte Determinante haben, die nach der 1-ten
Spalte entwickelt das gewünschte Ergebnis liefert.

Gruß ermanus