Für welchen Wert von a ist die Fläche des Dreiecks am größten?

Question

Aufgabe

Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x)=-1/5x^3+5x und g(x)=x im Intervall 0 kleiner, gleich x kleiner gleich √20. Der Punkt P(a|f(a)), der koordinatenursprung und der Punkt Q (a|g(a)) bilden einen Dreieck.

Für welchen Wert von a ist die Fläche des Dreiecks am größten?

Problem/Ansatz:

g(x)-f(x)=x+1/5x^3+5x

c'(x)=3/5x^2+5

Dann erste Ableitung gleich null setzen:

Aus einer negativen Zahl kann ich keine Wurzel ziehen.

Bin ich auf dem richtigen Weg?

Kann jemand die Aufgabe für mich ausrechnen ich sitze an der Aufgabe schon zwei stunden:/

Answer 1

F(a)=1/2·(f(a)-g(a))·a

F(a)=1/2·(-1/5a³+5a-a)·a

F(a)=-\( \frac{a^4}{10} \)+2a².

Nullstelle der ersten Ableitung von F in [0,√20] auf Maximum untersuchen.

Comments

Danke, wie kann man es trainieren sowas sich vorzustellen, wie schaffst du es?

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Ich zeichne die Graphen von f und g sowie die Geraden x=√20  und x=a (a beliebig aber fest) in ein Koordinatensystem. Dann lese ich nach, welches Dreieck gemein ist. Dann berechne ich seine Fläche nach der Formel F=1/2·g·h, wobei h senkrecht auf g stehen muss (aber nicht senkrecht in der Skizze stehen muss).

Answer 2

Eine Skizze könnte nützlich sein

Gesucht ist die Dreiecksfläche unterhalb der roten Geraden

Untere Seite : x
Hoch zur blauen Kurve f ( x ) =-1/5x^3+5x
Dreiecksfläche

x * ( -1/5*x^3+5x ) / 2
(-1/5 * x^4 + 5 * x^2 ) / 2

1.Ableitung bilden, zunull setzen und den
Extremwert berechen.
3.54

Bei Bedarf nachfragen.