Für welchen Wert von u ist die Fläche dieses Dreiecks am größten?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x)=3x*e^-x und g(x)=1/2 x

Die Graphen beider Funktionen schneiden sich bei x=0 und Xs. Die Punkte P(u|f(u)), der Koordinatenursprung und der Punkt Q (u|g(u)) bilden für 0<u<Xs ein Dreieck.

Für welchen Wert von u ist die Fläche dieses Dreiecks am größten?

Problem/Ansatz:

Für den maximalen Flächeninhalt würde ich A=1/2*g*h nehmen. Wenn ich dann für h f(u)-g(u) einsetze komme ich auf A(u)=3/2u^2*e^-u-1/4u^2. Kann das so stimmen? Und wie rechne ich dann weiter (mit der Ableitung habe ich Schwierigkeiten)?

Ich würde mich sehr freuen, bald eine Antwort zu bekommen, da ich morgen eine Matheklausur zu diesen Themen schreibe.

Vielen Dank schonmal im Voraus!

Answer 1

Hallo,

... komme ich auf A(u)=3/2u2*e^-u-1/4u2. Kann das so stimmen?

Ja das stimmt.

Und wie rechne ich dann weiter (mit der Ableitung habe ich Schwierigkeiten)?

Die Ableitung des ersten Terms \(\frac32u^2 e^{-u} \) geht nach der Produktregel:$$\begin{aligned} A(u)&= \frac32u^2 e^{-u} - \frac14 u^2\\ A'(u)&= 3u e^{-u} - \frac32u^2 e^{-u} - \frac12u\\ &= \frac u2\left(3e^{-u}\left(2-u\right) - 1\right) \end{aligned}$$Der Ausdruck ist 0, wenn \(u=0\) ist oder der Term in Klammern. Bei \(u=0\) hat das Dreieck den Flächeneinheit 0. Und der zweite Wert für \(u\) lässt sich nur nummerisch bestimmen. \(u \approx 1,05\). Das sieht so aus:

https://www.desmos.com/calculator/his1xwiztu

Welche Verfahren habt Ihr dazu gelernt?

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank für die Mühe am späten Abend!

Die Antwort hat mir sehr weitergeholfen, da wir die Produktregel eigentlich schon hatten, ich es nur einfach übersehen habe. Auf die Idee mit dem Ausklammern wäre ich selber vermutlich auch nicht gekommen. Die entstandene Ableitung hätten wir in der Klausur vermutlich mit dem Taschenrechner ausrechnen sollen, jedoch bin ich mir da etwas unsicher wie das im Gleichungsmenü gehen soll... Aber das hängt ja auch vom Taschenrechner-Modell ab. Also, Danke nochmal!

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Die entstandene Ableitung hätten wir in der Klausur vermutlich mit dem Taschenrechner ausrechnen sollen ...

Ich glaube, dass Ihr den TR viel zu viel benutzt ;-)

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Könntest du mir bitte bei der Aufgabe helfen, wo man die Momentgleichung anhand der Skizze aufstellen soll.

https://www.nanolounge.de/35178/momente-aufstellen-von-a

Vielen Dank :)