Bei einem Sechseck soll folgendes untersucht/erklärt werden: warum sind dabei die Seitenlänge der ersten, dritten …

Question

Aufgabe:

Bei einem Sechseck soll folgendes untersucht/erklärt werden: warum sind dabei die Seitenlänge der ersten, dritten und fünften, bzw. die der zweiten, vierten und sechsten Seite vom Längenbetrag her gleich, wenn man diese addiert?

Problem/Ansatz:

Erklären und beweisen, warum in einem Sechseck die Seitenlängen der ersten, dritten und fünften, bzw. die der zweiten, vierten und sechsten Seite vom Betrag der Länge her gleich sind, wenn man diese addiert? Dann müssten ja eigentlich immer die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sein, oder? Aber warum und wie kann man das beweisen (mathematisch/geometrisch?)?

Answer 1

Zu beweisen ist offenbar der Satz: "Für ein Sechseck mit Inkreis gilt, dass die Seitenlängen der ersten, dritten und fünften, bzw. die der zweiten, vierten und sechsten Seite vom Längenbetrag her gleich sind, wenn man diese addiert".

Der Beweis steckt in folgender Skizze:

Comments

Dieses gesuchte Sechseck wurde anhand dreier kongruenter Kreise konstruiert, die außerhalb des Sechsecks liegen. Dabei wurde jeweils der Mittelpunkt der Kreise mit schneidenden Tangenten zur Konstruktion des Sechsecks benutzt.

Wie kann man nun die hier von Ihnen abgebildete Skizze des Sechsecks mit der Beweisführung darauf übertragen, das immer die erste, dritte, fünfte bzw. zweite, vierte, sechste Seite von der Summe der Längen gleich sind?

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Für ein Viereck wäre dies der Satz von Pitot

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Pitot

Der Satz von Pitot verallgemeinert sich auf tangentiale 2n -Ecke, in welchem Fall die beiden Summen der abwechselnden Seiten gleich sind.

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Der Satz von Pitot bezieht sich aber auf Vierecke und nicht Sechsecke.

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Kannst du Lesen

Der Satz von Pitot verallgemeinert sich auf tangentiale 2n -Ecke, in welchem Fall die beiden Summen der abwechselnden Seiten gleich sind.

Also auch wenn der Satz von Pitot speziell für Vierecke ausgelegt ist, kann man ihn verallgemeinern.

Answer 2

Die Aussage der Aufgabe trifft im Allgemeinen NICHT zu. Es muss sich bei der Aufgabe um irgendein spezielles Sechseck handeln.

Comments

irgendein spezielles Sechseck

genauer : Sechseck mit Inkreis

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Mein Kommentar hat das "muss" in as Antwort missverständlich interpretiert.

Die Aufgabenstellung muss weitere Informationen über das Sechseck enthalten. Diese kann z.B. die Existenz eines Inkreises sein, jedes einem Kreis umbeschriebene Sechseck erfüllt die angegebene Seitenbeziehung.
Andererseits ist diese Bedingung aber nicht hinreichend :

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Dieses gesuchte Sechseck wurde anhand dreier kongruenter Kreise konstruiert, die außerhalb des Sechsecks liegen. Dabei wurde jeweils der Mittelpunkt der Kreise mit schneidenden Tangenten zur Konstruktion des Sechsecks benutzt.

Wie kann man nun die hier von Ihnen abgebildete Skizze des Sechsecks mit der Beweisführung darauf übertragen, das immer die erste, dritte, fünfte bzw. zweite, vierte, sechste Seite von der Summe der Längen gleich sind?