Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte?

Question

Hallo,

Ich habe die Funktion gegeben:

fk(x)=x^2-kx^3

Und die Aufgabe dazu die Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte zu berechnen ?

Danke !

Comments

Was hast du denn bisher unternommen?

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wahrscheinlich hab ich mich geh nicht klar genug ausgedrückt.

Und zwar ist mir bewusst wie die gefragten Dinge zu berechnen sind, allerdings liegt mein Problem bei dem „k“ in der Funktion…

Ich weiß nicht damit umzugehen und so die Gleichung zu lösen :/

Answer 1

Funktion & Ableitungen

fk(x) = x^2 - k·x^3
fk'(x) = 2·x - 3·k·x^2
fk''(x) = 2 - 6·k·x
fk'''(x) = - 6·k

Nullstellen fk(x) = 0

x^2 - k·x^3 = x^2·(1 - k·x) = 0 → x = 0 (2-fach) ∨ x = 1/k (für k ≠ 0)

Extrempunkte fk'(x) = 0

2·x - 3·k·x^2 = x·(2 - 3·k·x) = 0 → x = 0 ∨ x = 2/(3·k) (für k ≠ 0)

fk''(0) = 2 → Tiefpunkt
fk(0) = 0 → TP(0 | 0)

fk''(2/(3·k)) = -2 → Hochpunkt (für k ≠ 0)
fk(2/(3·k)) = 4/(27·k^2) → HP(2/(3·k) | 4/(27·k^2))

Wendepunkte fk''(x) = 0

2 - 6·k·x = 0 → x = 1/(3·k) (für k ≠ 0)

fk'''(1/(3·k)) = - 6·k → Wendepunkt (für k ≠ 0)
fk(1/(3·k)) = 2/(27·k^2) → WP(1/(3·k) | 2/(27·k^2))

Answer 2

Für welche x gilt x^2-kx^3=0?

Schon hast du die Nullstellen.

Wie lautet die Ableitung? Die musst du bilden und für mögliche Extremstellen gleich 0 setzen.

Comments

Hallo, danke für die nette Antwort, allerdings hab ich mich wahrscheinlich nicht klar genug ausgedrückt.

Und zwar ist mir bewusst wie die gefragten Dinge zu berechnen sind, allerdings liegt mein Problem bei dem „k“ in der Funktion…

Ich weiß nicht damit umzugehen und so die Gleichung zu lösen :/

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Klammere x² aus:

x²(1-kx)=0

Für welches x ist der erste Faktor 0, für welches x der zweite?

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Also:

x=0 und x=k

?

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x=0 stimmt.

x=k kann nicht stimmen, denn (1-k*k) ist eben 1-k², und das ist nicht 0.

Löse die Gleichung 1-kx=0 nach x auf.

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Hallo User,

Und zwar ist mir bewusst wie die gefragten Dinge zu berechnen sind

Gut, du musst dabei nur bedenken, dass "k" eine beliebige Zahl ist. Du rechnest genauso wie sonst und löst wie immer nach x auf.

Nullstellen:

\(x^2-kx^3=0\\ x^2\cdot(1-kx)=0\\ x=0\quad \text{doppelte Nullstelle oder}\\ 1-kx=0\\ -kx=-1\\ x=\frac{1}{k}\)

abakus, in diesem Fall halte ich einen Rechenweg für angebracht.

Gruß, Silvia