Welchen Wert müssen Sie in der folgenden Funktion f für a wählen, damit f überall stetig wird?

Question

Welchen Wert müssen Sie in der folgenden Funktion \( \mathrm{f} \) für a wählen, damit \( \mathrm{f} \) überall stetig wird?

\( f(x):=a \), falls \( x=0 \) und \( f(x):=x^{2} \sin \left(\frac{1}{x}\right) \) falls \( x \neq 0 \)

Comments

Schau dir den Graphen an:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2*+sin%281%2Fx%29+x+to+0

An der Stelle x= 0 müssen die Teilfunktionen übereinstimmen.

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An der Stelle x= 0 müssen die Teilfunktionen übereinstimmen.

An der Stelle x = 0  gibt es keine Teilfunktionen

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Für x ≠0 geht die 2.Teilfunktion gegen 0 -> a muss 0 sein.

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Für x ≠0  muss heißen   für x → 0

Answer 1

Was hältst du von a = 0?

Comments

Ich habe hier ausprobiert und ich glaube auch, 0 wäre gut! Danke ;)

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Wenn du auch findest das a = 0 gut ist, wie könntest du es dann nachweisen?

Die Funktion wäre stetig, wenn der rechtsseitige Grenzwert = linksseitigem Grenzwert = Funktionswert ist. Also solltest du mal den rechtsseitigen Grenzwert ermitteln. Aufgrund der Symmetrie ist das dann auch der linksseitige Grenzwert.

Answer 2

\(a=\lim\limits_{x\rightarrow 0} x^2sin \frac{1}{x}=0\), denn \(-1<sin \frac{1}{x}<1;x\neq0\)

Answer 3

Aloha :)

Du musst die überlegen, welchen Grenzwert \(f(x)\) für \(x\to0\) hat. Dazu folgende Überlegung:

$$-1\le\sin\left(\frac1x\right)\le1\;\stackrel{(x^2>0)}{\implies}\;-x^2\le x^2\sin\left(\frac1x\right)\le x^2\;\implies\; -x^2\le f(x)\le x^2$$Damit ist klar, dass:$$\lim\limits_{x\to0}f(x)=0$$Die Funktion \(f(x)\) lässt sich also an der Stelle \(x=0\) durch \(f(0)=a=0\) stetig ergänzen.

Answer 4

lim x -> 0  [ x^2 * sin( 1/x ) ]
lim x -> 0 [1/ x ] = 1/ 0 ist nicht definiert geht aber
gegen unendlich
der sin von unendlich schwankt zwischen -1 und 1
lim x -> 0 [x^2] = 0

0 mal ( -1 .. 1 ) = 0

lim x -> 0  [ x^2 * sin( 1/x ) ] = 0