sin(x) / cos (x) integrieren

Question

sin(x) / cos(x)

die Integration davon ist ja

− ln (cos(x) )

ich verstehe aber nicht warum, also woher kommt auf einmal - ln?

also ich habe davor nie Brüche integriert, ich weiß nicht, ob das irgendwas damit zu tun hat.

ich weiß, dass cos(x) integriert sin(x) ist, und sin(x) -cos(x)... das erklärt aber nicht, woher jetzt ln auf einmal kommt
ich würde mich über einen Lösungsweg mit Erklärung freuen :)

Comments

die Ableitung davon ist ja

Willst Du integrieren oder ableiten?

---

integrieren, sorry

---

Wenn im Zähler die Ableitung des Nenners steht oder der Zähler durch einen Faktor

zur Ableitung des Nenners wird, sollte man sofort an die ln-Funktion denken.

Das spart unnötige Arbeit und Zeit.

Answer 1

sin(x) / cos(x) = tan(x)

Dazu geben die Integraltafeln (z.B. Gradshteyn / Ryzhik 2.516) das Integral - ln cos x

Comments

Der Logarithmus kommt vom Standardintegral

\( \int \frac{1}{u} \, du = ln(u)\)

---

also ist es einfach so n ding, dass man auswendig können muss?

---

Wieso auswendig?

---

ich meinte die Regel mit 1/u du = ln(u)

---

Aha, und wieso auswendig?

Answer 2

Wenn man \(\ln (g(x))\) ableitet, bekommt man mit der Kettenregel

\(\frac{g'(x)}{g(x)}\). Hat man also eine Funktion der Gestalt

\(\frac{g'(x)}{g(x)}\), dann ist \(\ln(g(x))\) eine Stammfunktion.

Mit \(g(x)=\cos(x)\) wird \(\frac{sin(x)}{\cos(x)}=-\frac{-\sin(x)}{cos(x)}=-\frac{(\cos(x))'}{\cos(x)}\).

Folglich ist \(-\ln(\cos(x))\) eine Stammfunktion.

Dies Thema läuft unter dem Stichwort "logarithmische Ableitung".

Answer 3

Hallo,

∫ \( \frac{sin(x)}{cos(x)} \) dx

Substituiere :

z=cos(x)

dz/dx= - sin(x)

dx= \( \frac{dz}{- sin(x)} \)

eingesetzt in den Integranden:

kürze zuerst sin(x)

->

= - ∫\( \frac{dz}{z} \)

= - ln|z|+C , Resubstituiere

= - ln|cos(x)| +C

Answer 4

∫ SIN(x) / COS(x) dx

Substitution
z = COS(x)
1 dz = -SIN(x) dx → dx = -1/SIN(x) dz

∫ SIN(x) / z dx
∫ SIN(x) / z * (-1)/SIN(x) dz
∫  - 1/z dz
- ∫  1/z dz
- LN(|z|) + C

Resubstitution

- LN(|COS(x)|) + C