Finden Sie Basen für kerL und ImL.

Question

Hey Leute, ich stehe bei dieser Aufgabe total auf dem Schlauch.

Es sei L: (ℤ₇)⁴ → (ℤ₇)³ die lineare Abbildung mit Darstellungsmatrix \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & 2 \\ 3 & 2  & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & -2\end{pmatrix} \) bezüglich der Standardbasen dieser Räume. Finden Sie Basen für kerL und ImL.

So, wie gehe ich hier nun vor? Muss ich Gauss Algorithmus anwenden? Wie finde ich die richtigen Basen und was bedeutet kerL und ImL?

Hilfe :(

Comments

Okay ich hab soweit die Aufgabe mal gelöst. Könnte mir bitte jemand sagen ob es soweit richtig ist?

Gauss-Algorithmus (beachte modulo 7):

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & 2 \\ 3 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 6 \end{pmatrix} \) → \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & 2 \\ 0 & 3 & -1 & 2 \\ 0 & 6 & 5 & 4 \end{pmatrix} \) → \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & 2 \\ 0 & 3 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

dim(ker(L)) = 2 (Anzahl der freien Variablen)

dim(Im(L)) = 2 (Anzahl der Pivotelemente)

Eine Basis des Bildes von L ist: \( \begin{pmatrix} 1\\3\\1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \end{pmatrix} \)

Nun berechnen wir eine Basis des Kernes von L.

2.Zeile: 3x₂ -1x₃ + 2x₄ = 0 ⇔ x₂ = \( \frac{1}{3} \)x₃ - \( \frac{2}{3} \)x₄

1. Zeile: x₁ + 2x₂ + 5x₃ + 2x₄ = 0 ⇔ x₁ = -\( \frac{17}{3} \)x₃ - \( \frac{2}{3} \)x₄

Somit ist eine Basis des Kernes von L: {(x₃ \( \begin{pmatrix} -\frac{17}{3}\\\frac{1}{3}\\1\\0 \end{pmatrix} \) + x₄ ·\( \begin{pmatrix} -\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}\\0\\1 \end{pmatrix} \) Ι x₃ , x₄ ∈ ℝ}

Das ist meine Lösung. Ist diese soweit korrekt?

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Hallo,

im Prinzip richtig. Nur am Ende musst Du das Ergebnis auf Z_7 "umschreiben". Beachte dabei, dass 1/3=5 in Z_7. Also korrekt ausgedrückt: Das Inverse bezüglich der Multiplikation von 3 ist 5 in Z_7; denn 3*5=2*7+1.

Gruß Mathhilf

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Oh ich hab vergessen -1 mod 7 zu rechnen.