Gleichung der Torbogenparabel

Question

a) Bestimme rechnerisch die Gleichung der Torbogenparabel.

Ich habe extremst Schwierigkeiten mit quadratischen Funktionen vorallem im Zusammenhang mit Kontextaufgaben.

Daher wäre ich sehr dankbar wenn ihr mir die Aufgabe lösen könntet oder zumindest eine Hilfestellung zum verstehen geben könntet. Diese Aufgaben sind keine HAUSAUFGABEN sie dienen lediglich zur Übung meiner anstehenden klausur

Comments

Was soll denn das sinnentstellende Edit der Frage?

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Der Edit kommt von mir, ich habe lediglich Verbalschrott entfernt der wohl durch Fehler beim Copy-Paste oder durch die automatisch Schrifterkennung entstanden ist. Und den Bildausschnitt korrigiert.

Answer 1

Wenn der Scheitelpunkt wie in diesem Fall gegeben ist, sollte man immer die scheitelpunktsform nutzen, weil das am schnellsten geht.

y=a*(x-x_{s})^2+y_{s}

Hier setzen wir jetzt die Koordinaten des Scheitelpunkts und eines beliebigen weiteren Punktes ein um a zu bestimmen.

S(5/4)  P(1/0)

0=a*(1-5)^2+4

-4=16a

a=-1/4

y=-1/4*(x-5)^2+4

Das kann man jetzt noch ausmultiplizieren wenn man will.

Answer 2

Mit Hilfe der Nullstellen:

y=a(x-1)(x-9)

x=5 → y=4

4=a(5-1)(5-9)

4=a*(-16)

a=-0.25

y=-0.25*(x-1)(x-9)

Answer 3

Man kann hier sehr gut entweder die Scheitelpunktform oder die Nullstellenform nutzen. Ich mache das mal über die Nullstellenform.

f(x) = a·(x - 1)·(x - 9)

Durch die Bedingung f(5) = 4 kann man jetzt das a bestimmen.

f(5) = a·(5 - 1)·(5 - 9) = 4 --> a = - 1/4

Wir erhalten damit unsere Funktion

f(x) = - 1/4·(x - 1)·(x - 9)

Wir prüfen zur Kontrolle den weiteren gegebenen Punkt

f(7) = - 1/4·(7 - 1)·(7 - 9) = 3 → Passt

Wir multiplizieren die Nullstellenform noch aus

f(x) = - 1/4·(x - 1)·(x - 9)
f(x) = - 1/4·(x^2 - 10·x + 9)
f(x) = - 1/4·x^2 + 5/2·x - 9/4
f(x) = - 0.25·x^2 + 2.5·x - 2.25

Answer 4

f(x)=a*x^2+b*x+c

P(2|0)

f(2)=a*2^2+b*2+c

1.)4a+2b+c=0   → c=-4a-2b

P(6|4)

f(6)=a*6^2+b*6+c

2.) 36a+6b+c=4

R(10|0)

f(10)=a*10^2+b*10+c

3.)100a+10b+c=0

2.)-1.)

32a+4b=4  →  64a+8b=8    →     8a+b=1     →      b=1-8a

3.)-1.)

                      96a+8b=0

                      -32a=8    →  a=-\( \frac{1}{4} \)                           b=3

1.) c=-4a-2b     c=1-6=-5

f(x)=-\( \frac{1}{4} \)x^2+3x-5

 

Comments

Hallo,

wenn Du hier eine weitere Lösung postest, solltest Du dann nicht dem Fragesteller erklären, warum Deine Lösung abweicht?

Gruß Mathhilf

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Jetzt habe ich auch gemerkt, dass meine Lösung abweicht. Ich kann mir aber nicht erklären, wie ich auf die Koordinaten der Nullstellen und des Scheitelpunktes gekommen bin.

Answer 5

Es gibt auch eine allgemeine Punkt-Scheitel-Form der Parabelgleichung. Mit dem Scheitel \((x_s|y_s)=(5|4)\) und einem weiteren Punkt, zum Beispiel \((x_0|y_0)=(3|3)\) ergibt sich damit bereits durch Einsetzen: $$ y=\dfrac{y_0-y_s}{\left(x_0-x_s\right)^2}\cdot\left(x-x_s\right)^2+y_s \\ y=\dfrac{3-4}{\left(3-5\right)^2}\cdot\left(x-5\right)^2+4=\dots $$ Der Streckfaktor lässt sich noch zusammenfassen.