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Themenbereich Analysis:
In einem Krankenhaus muss das Operationsbesteck sterilisiert werden. Es wird nach klassischer Definition als steril bezeichnet, wenn sich keine lebenden Erreger mehr darauf befinden.
Die Sterilisation mit heißem Wasserdampf kann naherungsweise durch die Funktion \( N \) mit \( N(x)=N_{0} \). \( e^{-c^{-x}} \) modelliert werden. Hierbei bezeichnet \( N(x) \) die Anzahl der noch lebenden Erreger, \( N_{0} \) die Anzahl der zu Beginn lebenden Erreger, \( x \) die Zeit in Minuten (min) nach Beginn des Sterilisationsprozesses und \( c \) eine positive Konstante in \( \frac{1}{\min } \)
a) Auf einem Operationsbesteck befinden sich 1000000 lebende Erreger, die durch eine Dampfsterilisation mit \( \mathrm{c}=0,25 \) abgetotet werden sollen.
i. Bestimmen Sie die Anzahl der 30 Minuten nach dem Beginn der Dampfsterilisation noch lebenden Erreger.
ii. Berechnen Sie auf Minuten genau den frühesten Zeitpunkt, zu dem sich auf dem Operationsbesteck weniger als 100 lebende Enreger befinden.
iii. Beurteilen Sie die Eignung des Modells im Hinblick auf die klassische Definition von ssteril".
b)
i. Beschreiben Sie die Bedeutung der Gleichung \( N^{\prime}(x)=-c \cdot N(x) \) im Sachzusammenhang.
ii. Untersuchen Sie, wie sich eine Verdoppelung von \( N_{0} \) auf die Anderungsrate von \( N \) auswirkt.
Als Maß für die Widerstandsfahigkeit der Erreger wird der sogenannte D-Wert verwendet. Er gibt die Zeit an, wie lange ein Sterilisationsprozess auf die Brreger einwirken muss, um eine Reduzierung auf ein Zehntel ihrer aktuellen Anzahl zu erreichen.
iii. Zeigen Sie, dass für den D-Wert gilt: \( D=\frac{\ln (10)}{c} \)
Im Folgenden soll die Vermehrung von Erregem betrachtet werden. Die Anzahl der Erreger kann für verschiedene Erregertypen näherungsweise durch die Funktionen \( f_{k} \) mit \( f_{k}(x)=\frac{10}{1+9 e^{-10^{-k x}}} \), \( x \in I R, x \geq 0, k>0 \), modelliert werden. Dabei bezeichnet \( \mathbf{x} \) die Zeit in Stunden (h) nach Beobachtungsbeginn und \( f_{k}(x) \) die Anzahl der Erreger in Millionen.
c)
i. Vergleichen Sie die Bedeutung von \( f_{k} \) (3) und \( \int \limits_{0}^{3} f_{k}^{\prime}(x) d x \) im Sachzusammenhang Betrachtet werden zwei Erregertypen:
- Typ 1 mit \( k_{1}=0,017 \)
- Typ 2 mit \( k_{2}=0,027 \)
ii. Berechnen Sie die Zeitpunkte, zu denen die Wachstumsgeschwindigkeit des cinen Erregertyps doppelt so groß wie die des anderen Typs ist.
Unabhängig vom Sachzusammenhang wird im Folgenden die Funktionenschar \( f_{k} \) mit \( f_{k}(x)=\frac{10}{1+9 e^{-10-k x}} \), \( x \in I R, k>0 \), betrachtet.
d) Für jedes \( \mathrm{k}>0 \) bezeichnet \( t_{k} \) die Tangente an den Graphen von \( f_{k} \) im Wendepunkt \( W_{k}\left(\frac{\ln (3)}{5^{k} k} \mid 5\right) \).
i. Bestimmen Sie die Koordinaten des gemeinsamen Punktes aller Tangenten \( t_{k} \) -
Die Tangente \( t_{k} \) hat die Nullstelle \( x=\frac{\ln (3)-1}{5 \cdot k} . Z \mathrm{u} \) jeder Tangente \( t_{k} \) existiert eine zu \( t_{k} \) senkrechte Gerade
Problem/Ansatz:
Könnten Sie mir bei Aufgabe b iii und c helfen? Danke
