Analytische Geometrie, Vektorrechnung

Question

Aufgabe:

Die Punkte A(1/3/-2), B(4/2/0), C(6/4/4) und D(5/7/6) bilden ein ebenes Viereck. Bestimme die Art des Vierecks so genau wie möglich und berechne den Flächeninhalt.

Die Punkte A(5/2/0), B(4/3/1), D(4/0/2) und E(7/3/2) sind Eckpunkte eines Würfels. Bestimme die restlichen Koordinaten rechnerisch.

Problem/Ansatz:

Ich hatte gestern schon eine ähnliche Aufgabe, bei der ich nicht ganz klar gekommen bin. Bitte mit Rechenweg, was ich hier zu tun habe. Ich möchte es gern nachvollziehen.

Answer 1

Aloha :)

zu a) Wir bestimmen die Seitenlängen des Vierecks (ABCD):

$$\overline{AB}=\left\|\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}$$$$\overline{BC}=\left\|\begin{pmatrix}6\\4\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{4+4+16}=\sqrt{24}$$$$\overline{CD}=\left\|\begin{pmatrix}5\\7\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\4\\4\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{1+9+4}=\sqrt{14}$$$$\overline{DA}=\left\|\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\7\\6\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}-4\\-4\\-8\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{16+16+64}=\sqrt{96}$$Die sich gegenüberliegenden Seiten \(\overline{BC}\) und \(\overline{DA}\) liegen parallel zueinander, sind aber unterschiedlich lang. Die beiden anderen sich gegenüberliegenden Seiten \(\overline{AB}\) und \(\overline{DA}\) sind gleich lang, liegen aber nicht parallel zueinander. Das vorliegende Viereck ist also ein "gleichschenkliges Trapez."

Die Fläche eines so "krummen" Vierecks kriegen wir raus, indem wir es in zwei Dreicke (ABC) und (ADC) zerlegen. Für beide Dreiecke können wir dann mittels Vektorprodukt die Fläche bestimmen:

$$F_{ABC}=\frac12\left\|\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}\right\|=\frac12\left\|\begin{pmatrix}-3\\1\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}\right\|=\frac12\left\|\begin{pmatrix}0\\16\\-8\end{pmatrix}\right\|=\frac12\sqrt{320}=4\sqrt5$$$$F_{ADC}=\frac12\left\|\overrightarrow{DA}\times\overrightarrow{DC}\right\|=\frac12\left\|\begin{pmatrix}-4\\-4\\-8\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\-3\\-2\end{pmatrix}\right\|=\frac12\left\|\begin{pmatrix}-16\\-16\\16\end{pmatrix}\right\|=\frac12\sqrt{768}=8\sqrt{3}$$Die Fläche des Vierecks beträgt daher:$$F_{ABCD}=4\sqrt5+8\sqrt3=4(\sqrt5+\sqrt{12})$$

Kriegst du die (b) alleine hin? Einfach nur die Vektoren einsetzen.$$\vec c=\vec b+\overrightarrow{AD}=\vec b+\vec d-\vec a$$$$\vec f=\vec b+\overrightarrow{AE}=\vec b+\vec e-\vec a$$$$\vec g=\vec c+\overrightarrow{AE}=\vec c+\vec e-\vec a$$$$\vec h=\vec d+\overrightarrow{AE}=\vec d+\vec e-\vec a$$

Answer 2

Die Punkte A(1/3/-2), B(4/2/0), C(6/4/4) und D(5/7/6) bilden ein ebenes Viereck. Bestimme die Art des Vierecks so genau wie möglich und berechne den Flächeninhalt.

Es gilt \(|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{14}\). Darüber hinaus sind \(\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}2\\2\\4 \end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}4\\4\\8 \end{pmatrix}\) kollinear, d. h. parallel, haben aber unterschiedliche Länge.

Es handelt sich damit um ein gleichschenkliges Trapez, denn die beiden Seiten, die nicht die Grundseite sind, sind gleich lang.

Der Flächeninhalt berechnet sich gemäß \(A=\frac{(|\overrightarrow{AD}|+|\overrightarrow{BC}|)\cdot h}{2}\), wobei \(h\) der Abstand von \(C\) zu \(\overline{AC}\) ist. Hier könnte man etwa den Abstand von \(C\) zu \(g: \vec{x}=\overrightarrow{OA}+t\cdot \overrightarrow{AD}\) berechnen.

Comments

Müsste das nicht der Vektor AD sein mit (4/4/8) ?

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Ja, du hast Recht. Ich hatte zwei mal \(\overrightarrow{BC}\) geschrieben.