Aloha :)
zu a) Wir berechnen zuerst die 3 Seitenlängen:$$a=\overline{BC}=\left|\vec c-\vec b\right|=\left|\binom{-3}{3}-\binom{8}{2}\right|=\left|\binom{-11}{1}\right|=\sqrt{(-11)^2+1^2}=\sqrt{122}$$$$b=\overline{AC}=\left|\vec c-\vec a\right|=\left|\binom{-3}{3}-\binom{4}{-1}\right|=\left|\binom{-7}{4}\right|=\sqrt{(-7)^2+4^2}=\sqrt{65}$$$$c=\overline{AB}=\left|\vec b-\vec a\right|=\left|\binom{8}{2}-\binom{4}{-1}\right|=\left|\binom{4}{3}\right|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$$Der Umfang des Dreiecks ist die Summe aller Seitenlängen:$$U=a+b+c\approx24,1076$$
zu b) Ein stumpfer Winkel in einem Dreieck ist größer als \(90^\circ\). Er muss gegenüber der längsten Seite liegen. Die längste Seite ist hier \(a\), der ihr gegenüberliegende Winkel ist \(\alpha\). Diesen können wir mit dem Cosinus-Satz ermitteln:
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\implies$$$$\cos\alpha=\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}=\frac{122-65-25}{-2\cdot\sqrt{65}\cdot5}\approx\frac{32}{-80,6226}\approx-0,3969$$Die Arcus-Cosinus-Funktion liefert \(\alpha=113,3852^\circ\). Das Dreieck ist daher stumpfwinklig.
zu c) Zum Punkt D gelangen wir, wenn wir von Punkt A aus in Richtung \(\overrightarrow{BC}\) gehen:$$\vec d=\vec a+\overrightarrow{BC}=\vec a+\vec c-\vec b=\binom{4}{-1}+\binom{-3}{3}-\binom{8}{2}=\binom{-7}{0}$$Der fehlende Punkt ist also \(D(-7|0)\).
