Aufgabe:
Problem/Ansatz:
Falten bis zum Mond
Die menschliche Intuition ist eine fantastische Gabe. Diese Fähigkeit führt uns allerdings bei Zahlen oder Wahrscheinlichkeiten oft in die Irre. Wenn man zum Beispiel ein Band um den Äquator legen könnte und es um einen Meter verlängern würde, wie hoch würde es dann über dem Äquator schweben? Ziemlich genau 16 Zentimeter. Das klingt erst mal nicht sehr wahrscheinlich, oder? Wenn du es nicht glaubst, probiere es einfach aus. Egal, ob du das Band um eine Billardkugel wickelst oder um die Milchstraße, die Mathematik zeigt eindeutig: Bei einer Verlängerung um einen Meter beträgt der Abstand immer 16 Zentimeter, unabhängig vom Durchmesser des jeweiligen Objekts. Intuitiv wäre man darauf wohl nie gekommen.
Heute werden wir uns mit der folgenden Frage befassen, deren Antwort eher „anti-intuitiv" ist:
Wie oft müsste man ein Blatt Papier falten, bis es zum Mond reicht?
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Bestimmt ist euch schon einmal aufgefallen, dass Papier, sobald man es faltet, immer dicker wird. Stellt euch nun vor, ihr würdet ein Stück Papier so oft falten, dass es von der Erde bis zum Mond reichen würde. Die (durchschnittliche) Entfernung zwischen Mond und Erde beträgt dabei 384400 km. Ein Stück Paper ist dabei zirka 0.1 mm dick.
1) Schätze, wie oft man ein Stück Papier falten müsste, damit es bis zum Mond reichen würde.
--------------------------------------- mal
2) Falte ein Blatt (gedanklich) sechsmal. Notiere nach jedem Mal Falten die Anzahl der Papierlagen in der vorgegebenen Wertetabelle. Vervollständige anschließend die Spalte zur Gesamtdicke des Papiers.
| Anzahl der Faltungen | Anzahl der Papierlagen | Gesamtdicke in mm |
| 0 | 1 | 0,1 |
| 1 |
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| 2 |
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| 3 |
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| 4 |
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| 5 |
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| 6 |
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3) Angenommen, wir könnten das Papier so oft falten, wie wir wollten. Stelle begründete Vermutungen an, wie sich eine Funktion, die die Dicke (in Abhängigkeit der Faltungen) mit zunehmender Faltanzahl verhalten würde:
4) Leite aus den ermittelten Werten eine allgemeine Funktion für die Gesamtdicke des Papiers (in mm in Abhängigkeit von der Anzahl der Faltungen her. Überlege dir dazu, wie du von der Dicke von null Faltungen zu der Dicke von einer Faltung, dann zu der Dicke von 2 Faltungen usw. kommst. Gib eine Legende an! (Hinweis: Überprufe die Richtigkeit deiner Funktion mit der Tabelle, z.B. f(6) muss der Wert mm sein, den du in der entsprechenden Spalte stehen hast.)
D(x) =
D ..............
x ..........
Zeichne die Funktion mithilfe der Wertetabelle aus Punkt 2:
5) Ermittle nun mittels dieser Funktion, wie oft man das Papier falten müsste, damit es bis zum Mond reichen würde. Benutze dazu den Löse - Befehl in GeoGebra.
Achte dabei auf die Einheiten! 1 km=10^6 mm
6) Meint ihr, es ist wirklich möglich, Papier so oft zu falten, dass es bis zum Mond reichen würde? Wenn nicht, erklärt, was euch daran hindern könnte. Zusatz: Beweise die Behauptung in der Einleitung: eine Erhöhung des Umfangs um 1 Einheit bewirkt eine Erhöhung des Radius um ca. 0.16 Einheiten.
