Austauschbarkeit/i.i.d zeigen

Question

Angenommen X_i | P ~ i.i.d. Bernoulli(P), i=1,...,n, und P ~ gleichverteilt (0,1).

a.) Zeigen Sie, dass die Randverteilung für jede Zahl k der X dem Ausdruck

P(X₁ = x₁, ... , X_k = x_k) = \( \int\limits_{0}^{1} \) p^t(1-p)^k-t dp = \( \frac{t!(k-t)!}{(k+1)!} \)

wobei t = \( \sum\limits_{i=1}^{k}{} \) x_i entspricht. Die X sind also austauschbar.

b.) Zeigen Sie ferner, dass gilt

P(X₁ = x₁,...,X_k = x_k) ≠ \( \prod_{I=1}^{k}{} \)P(X_i = x_i),

und die X daher nicht i.i.d. sind.