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Aufgabe: Wahrscheinlichkeit, Varianz und Erwartungswert für eine Linearkombination von normalverteilten Zufallsvariablen
Gegeben ist, dass die Zufallsvariablen \(R_i\) normalverteilt sind mit den Parametern:
- \(R_i \sim N(2,3)\) für \(i = 1, 2\)
- \(R_i \sim N(1.7,1.1)\) für \(i = 3, 4, 5\)
Wir interessieren uns für die Zufallsvariable \(\overline{R} = 2.49R_1 + 2.73R_4\) und möchten die Wahrscheinlichkeit \(P(\overline{R} \leq 10.1)\) bestimmen.
Schritt 1: Erwartungswert von \(\overline{R}\) bestimmen
Der Erwartungswert einer Linearkombination von Zufallsvariablen ist die Linearkombination der Erwartungswerte der jeweiligen Zufallsvariablen, also:
\(
E(\overline{R}) = 2.49E(R_1) + 2.73E(R_4)
\)
Da \(E(R_1) = 2\) (aus \(N(2,3)\)) und \(E(R_4) = 1.7\) (aus \(N(1.7,1.1)\)) bekannt sind, erhalten wir:
\(
E(\overline{R}) = 2.49 \times 2 + 2.73 \times 1.7 = 4.98 + 4.641 = 9.621
\)
Schritt 2: Varianz von \(\overline{R}\) bestimmen
Die Varianz einer Linearkombination unabhängiger Zufallsvariablen ist die Summe der mit dem Quadrat der Koeffizienten gewichteten Varianzen der Zufallsvariablen:
\(
Var(\overline{R}) = 2.49^2Var(R_1) + 2.73^2Var(R_4)
\)
Mit \(Var(R_1) = 3\) und \(Var(R_4) = 1.1\), erhalten wir:
\(
Var(\overline{R}) = 2.49^2 \times 3 + 2.73^2 \times 1.1 = 18.5901 + 8.1979 = 26.788
\)
Schritt 3: Standardabweichung von \(\overline{R}\) bestimmen
Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz, also:
\(
\sigma(\overline{R}) = \sqrt{Var(\overline{R})} = \sqrt{26.788} \approx 5.18
\)
Schritt 4: Standardnormalverteilung nutzen
Um \(P(\overline{R} \leq 10.1)\) zu bestimmen, transformieren wir \(\overline{R}\) in eine Standardnormalverteilung \(Z\) mit:
\(
Z = \frac{\overline{R} - E(\overline{R})}{\sigma(\overline{R})}
\)
Somit:
\(
P(\overline{R} \leq 10.1) = P\left(Z \leq \frac{10.1 - 9.621}{5.18}\right) = P(Z \leq 0.092)
\)
Schritt 5: Wahrscheinlichkeit berechnen
Suchen wir in der Standardnormalverteilungstabelle oder nutzen ein Programm, finden wir für \(P(Z \leq 0.092)\) einen Wert von ca. \(0.536\), was bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass \(\overline{R}\) kleiner oder gleich 10.1 ist, ungefähr 53.6% beträgt.
